Algebros istorija/ History of Algebra. Vartiklis

Algebrą galime padalinti į „klasikinę algebrą" (lygčių sprendimą arba „nežinomojo suradimą") ir „abstrakčiąją algebrą" („šiuolaikinę", kuri tiria grupes, žiedus ir laukus). Klasikinė algebra vystėsi per 4000 m., abstrakčioji atsirado vos prieš 200 m.

Algebra išaugo iš aritmetikos, todėl naujų skaičių (iracionaliųjų, nulio, neigiamų ir kompleksinių) įvedimas yra svarbūs jos vystymosi įvykiai. Algebrinės žymėjimo sistemos vystymasis Rhind papyrus

perėjo tris etapus: retorinį (arba žodinį), sinkopinį (kai naudoti žodžių trumpiniai) ir simbolinį (kurį naudojame dabar).

Algebra Egipte. Dauguma žinių apie matematiką Egipte mus pasiekė iš Rindo papiruso (Raindo arba Achmeso), parašyto apie 1650 m. pr.m.e. Manoma, kad jis atspindi Egipto matematikos būklę, buvusią apie 1850 m. pr.m.e. Buvo mokama spręsti tiesines lygtis su vienu nežinomuoju. Jie naudojo metodą, kuris dabar vadinamas „regula falsi" (klaidingo teiginio metodas). Jų algebra buvo retorinė, t.y. nenaudojo simbolių. Uždaviniai buvo formuluojami ir sprendžiami naudojant žodžius.

Kairo papirusas (apie 300 m. pr.m.e.) rodo, kad tuo metu egiptiečiai galėjo išspręsti kai kuriuos uždavinius, ekvivalentiškus dviejų nežinomųjų antro laipsnio lygčių sistemoms. Neabejotinai, matematikos vystymąsi Egipte stabdė gremėzdiškas veiksmų su trupmenomis atlikimas.

Algebra Babilone. Senojo laikotarpio (1800-1600 m. pr.m.e.) matematika buvo labiau pažengusi nei Egipte. Jie naudojo 60-tainę skaičiavimo sistemą, turėjo apibendrintą procedūrą kvadratinių lygčių sprendimui, nors pripažino tik vieną (teigiamą) šaknį. Taip pat spręsdavo ir dviejų kintamųjų dviejų lygčių sistemas. Kai kurie uždaviniai rodo, kad turėjo reikalų ir su daugiau nei du kintamieji, o taip pat ir su aukštesnio laipsnio lygtimis.

Kažkiek naudoti simboliniai žymenys, net nedaug. Jų algebra buvo daugiausia retorinė. Uždavinius sprendė naudodami pavyzdžius ir nebuvo pateikiami paaiškinimai. Pripažino tik teigiamus racionalius skaičius, tačiau turėjo metodus, leidžiančius rasti apytikslius sprendinius uždaviniams, neturintiems racionalaus sprendinio.

Dantiraščio tekstas ant delno telpančioje rudo molio lentelėje iš Babilono (BM 40054, atkastoje 19 a. ir saugomoje Londono Britų muziejuje) atskleidė, kad 4-1 a. pr.m.e. Jupiterio judėjimo nustatymui naudota geometrija (Mathieu Ossendrijver’is iš Berlyno un-to). Anksčiau manyta, kad planetų padėtys buvo paskaičiuojamos tik naudojant aritmetiką.

Iš lentelių matosi, kad babiloniečiai matavo regimą Jupiterio judėjimo greitį intervalais kas 60 d.. Tada jie tuos greičius ir laikus panaudodavo atstumui, kurį Jupiteris turėtų pasislinkti per dominantį laikotarpį. Tokie skaičiavimai atitinka geometriškai pavaizduojant greičio kitimą per laiko tarpą, o tada paskaičiuojant plotą po grafiku (dviem sujungtomis trapecijomis). Aišku, babiloniečiai nebraižė grafikų, tačiau atrodo, kad jie jau turėjo minėto metodo sampratą – ir tai vardan astrologijos!

Tokį metodą 14 amžiuje paaiškino „Oksfordo skaičiuotojų“ grupė iš Mertono koledžo. Jų rezultatą beveik tuo pat metu grafiškai pateikė prancūzų matematikas vyskupas Nikola Orezmietis. Tai integralinio skaičiavimo užuomazga.

Graikų geometrinė algebra. Klasikinio laikotarpio graikai nepripažino iracionalių skaičių, skaitines reikšmes vaizdavo kaip geometrinius dydžius. Įvairūs uždaviniai, atitinkantys kvadratines lygtis, buvo apibrėžiami ir sprendžiami geometrinėmis priemonėmis. Jie nedaug pažengė į priekį lyginant su babiloniečiais, nes jų geometrinis algebros traktavimas turėjo nedidelę praktinę reikšmę. Tokia būklė kelis šimtmečius trukdė vystytis algebrai. Didesnė pažanga buvo deduktyvinio protavimo ir bendrųjų procedūrų aprašymo srityse.

Vėlyvojo laikotarpio matematikas Diofantas iš Aleksandrijos (apie 250 m.) yra baigiamasis senovės Graikijos matematikos vystymosi tolstant nuo geometrinio algebros traktavimo (Archimedas, Ptolomėjus, Apolonijus, Nichomachas, Heronas) apibendrinimas. Jis įvedė sinkopinį lygčių užrašymo būdą, nors retorinis būdas dar išliko kelis šimtmečius.

Savo „Aritmetikoje" Diofantas aptaria dviejų ar daugiau lygčių su keliais nežinomaisiais sistemas, turinčias begalinį racionalių sprendinių – jos dabar vadinamos Diofanto lygtimis (viena garsiausių jų – Ferma teoremos pagrindas). Tačiau Diofantas nepateikė bendro jų sprendimo metodo ir kiekvienas iš 189-ių jo aprašytų uždavinių buvo sprendžiamas savu metodu. Diofantas pripažino tik teigiamus racionalius sprendinius, o kai kvadratinė lygtis turėdavo du teigiamas sprendinius, jis pateikdavo tik vieną jų.

Algebra Indijoje. Žinios apie matematiką Indijoje siekia 800 m. pr.m.e., tačiau ypač pasitarnauja graikų įtaka. Didelį stimulą davė astronomija bei astrologija. Jie sukūrė tam tikrus simbolinius žymenis. Indai išvystė tinkamas procedūras operacijoms su iracionaliais skaičiais. Apie 600 m. jau buvo įsigalėjusi dešimtainė skaičiavimo sistema, pozicinis skaičių užrašymo būdas, buvo žinoma nulio sąvoka ir aptariami veiksmai su juo. Skolų žymėjimui indai įvedė neigiamus skaičius (628 m. Brahmagupta). 428 m. Aryabhata mokėjo rasti ax + bx = c sveikus

Musulmonai neišrado matematikos!

Vienas klaidingas įsivaizdavimas apie musulmonų indėlį į mokslą yra tas, kad jie „išrado algebrą“. Matyt taip yra todėl, kad žodis „algebra“ yra arabiškos kilmės, tačiau etimologija neduoda atsakymo apie esmę (kaip ir žodis „cukrus“ kilęs iš arabų „sukhar“, bet tai nereiškia, kad musulmonai išrado cukrų).

„Algebra“ kilus iš „al-džabr“, 9 a. persų matematiko al-Chorezmio veikalo pavadinimo. Chorezmis išvertė, formalizavo ir parašė komentarus senovės indų ir graikų veikalams. Netgi abejojama, ar tikrai Chorezmis buvo musulmonu, nes jis apibūdinamas ir kaip „al-madžust“, kas gali rodyti jį buvus zoroastru, kas tuo metu buvo įmanoma žmogui, kilusiam iš Irano. Vis tik pratarmė jo „Algebrai“ rodo jį buvus musulmonu. Bet gal jaunystėje juo jis dar nebuvo.

Algebra žinota jau senovės Babilone, pažengę šioje srityje buvo indai (pvz., Brahmagupta) ir kinai, o graikas Diofantas parašė eilę knygų vadinamų „Aritmetika“, kuriose parodė, kaip spręsti algebrines lygtis.

B. Raselas antrame „Vakarų filosofijos“ tome rašo: „Arabų filosofija nėra svarbi dėl savo originalumo. Tokie žmonės kaip Avicena ar Averojus daugiausia buvo komentatoriai... Šiek tiek originalumo parodė matematikoje ir chemijoje – antruoju atveju, kaip atsitiktinį rezultatą alchemijoje“.

Tad tvirtinimai apie revoliucinį islamo indėlį į mokslą yra labiau politinė propaganda, o ne mokslinis faktas. Džichadas nebūtinai turi būti žiaurus ir agresyvus, netgi teroristinis veikimas. Jis gali būti ir laipsniška, paslapčia diegiama netikinčiųjų intoksikacija. Taqiyya ne tik leistina, bet ir skatintina.

sprendinius, panaudodamas metodą, ekvivalentišką šiuolaikiniam. Bhaskara (g. 1114 m.) išsiaiškino, kad teigiamas skaičius turi dvi kvadratines šaknis. Tačiau negalėjo išspręsti visų kvadratinių lygčių, nes negalėjo ištraukti šaknies iš neigiamo skaičiaus. Tačiau buvo pateikiami tik uždavinių sprendimai, neduodami paaiškinai ar įrodymai.

Algebra pas arabus. Mahometo 7-8 a. suvienyti arabai užkariavo teritoriją nuo Indijos per šiaurės Afriką siekiančią Ispaniją. Iki 14 a. jie aktyviai vystė menus ir mokslus. Jų didžiausias indėlis yra tame, kad graikų mokymus išsaugojo Viduramžiais. Tačiau jie padarė ir savų atradimų. Jie perėmė ir patobulino indų skaičiavimo sistemą, kurią apie 1200 m. iš jų pasiėmė Europa ir kuri tebenaudojama iki šiol. Kaip ir indai, arabai atlikinėjo veiksmus su iracionaliais skaičiais, tačiau atsisakė pripažinti neigiamus skaičius.

Arabų pasaulyje kilo ir pats pavadinimas „algebra" – jis buvo panaudotas al-Chorezmio knygos „Hisab al-džabr wal muqabala" (Knyga apie atstatymą ir priešpastatymą, apie 830 m.) antraštėje (kaip „al-džabr"). Beje, ir terminas „algoritmas" yra kilęs iš iškraipyto al-Chorezmio vardo.
Arabų algebra buvo visiškai retorinė. Jie mokėjo spręsti kvadratines lygtis, pripažino du sprendinius, tikėtina, kad ir iracionalius, tačiau atmesdavo neigiamus sprendinius. Omaras Chajamas (1050-1130) pasistūmėjo trečio laipsnio lygčių sprendime naudojant geometrinius metodus (kūgių pjūvius).

Algebra Europoje po 1500-ųjų. Tuo metu jau buvo pripažintas nulis kaip skaičius ir buvo naudojami iracionalūs skaičiai, nors tebevyko diskusijos, ar jie yra „tikri" skaičiai. Neigiami skaičiai žinomi, tačiau iki galo nepripažinti. Algebra tebebuvo beveik vien tik retorinė. Renesansas pasižymėjo ir matematikos iškilimu.

16 a. pažanga pasireiškė sprendžiant trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtis. 1545 m. Dž. Kardano paskelbė „Ars Magna", laikomą šiuolaikinio matematikos vystymosi pradžia, nors veikalas tebebuvo retorinis. Tačiau tuo metu įvesta ir nemažai patobulinimų simbolinių žymenų naudojime. Ypatingai tam nusipelnė F. Vieta (1540-1605), naudojęs raides žinomų konstantų pažymėjimui, nors jo algebra vis dar buvo labiau sinopsinė. Simbolizmas algebroje brandą pasiekė paskelbus Dekarto „Geometriją" (1637 m.). Šis veikalas apjungė algebrą su geometriją ir davė vaisių, kuris dabar vadinamas analitine geometrija (nepriklausomai išvystytą Dekarto ir P. Ferma). 17 a. pabaigoje simbolizmas matematikoje įsigalėjo.

Abstrakčioji algebra. 19-me a. matematikos srityje ėmė pirmauti britai. Dėmesys buvo nukreiptas į daugelį „algebrų", t.y. skirtingų matematinių objektų (vektorių, matricų, pertvarkymų ir t.t.) ir veiksmus su jais. Tad tyrinėjimų sritis išsiplėtė iki algebrinių formų ir struktūrų analizės ir nebuvo apsiribojama vien įprasta skaičių sistema. Didžiausias postūmis buvo nekomutatyvių algebrų įvedimas (Hamiltonas, 1843 m.).

G. Peacock'as (1791-1858) įvedė aksiominio mąstymą aritmetikoje. A. DeMorgan'as (1806-1871) tai išvystė aprašydamas operacijas su abstrakčiais simboliais. W. Hamiltonas (1805-1865) parodė, kad kompleksiniai skaičiai gali būti aprašyti kaip formali algebra su operacijomis apibrėžtomis su sutvarkytomis dviejų realių skaičių poromis. J. Gibbs'as (1839-1903) sukūrė vektorinę algebrą trimatėje erdvėje. A. Cayley (1821-1895) išvystė matricų algebrą.

Grupės koncepcija išaugo iš keleto matematikų darbų. Matyt, daugiausia nusipelnė E. Galua (1811-1832), krio koncepcija leido atsakyti į klausimą apie tai, kokie polinomai yra išsprendžiami algebrinių operacijų pagalba. Lauko koncepciją 1879 m. pirmasis aiškiai suformulavo R. Dedekindas (1831-1916).

Dž. Peano (1858-1932) sukūrė aksiomatinę natūrinių skaičių traktuotę (1889 m.). Buvo parodyta, kad visus kitus skaičius galima formaliai išvesti iš natūrinių skaičių („Dievas sukūrė natūrinius skaičius. Visa kita – žmogaus darbas", L. Kronecker).

apie 2000 m. pr.m.e. – babiloniečiai sprendžia kvadratines lygtis per radikalus (skaitykite Matematika Egipte ir Finikijoje);
apie 300 m. pr.m.e. – Euklidas iš Aleksandrijos pateikia geometrinį kvadratinių lygčių sprendimo būdą;
apie 1000 m – arabų matematikai lygtį ux^2p + vx^p = w suveda į kvadratinę;
1079 m. – Omaras Chajamas geometriniu būdu išsprendžia kubinę lygtį, panaudodamas parabolių ir apskritimų susikirtimus;
apie 1400 m. – al-Kaši išsprendžia tam tikras kubines lygtis iteracijų būdu;
1485 m. – Nicholas Chuqet (? 1445- ? 1500) sukurią metodą, leidžiantį spręsti polinomus iteracijų būdu;
1515 m. – Scipione del Fero (1465-1526) išsprendžia kubinę lygtį x³ + mx = n, tačiau nepaskelbia sprendimo;
1535 m. – Niccolo Fontana Tartaglia (1500-1557) laimi matematikos premiją už įvairių kubinių lygčių sprendimą ir savo metodą perduoda Kardanui (G. Cardan);
1539 m. – Girolamo Cardan (1501-1576) pateikia pilną kubinių lygčių sprendimą savo knygoje „Didysis menas, arba Algebros taisyklės", kurioje pateikiamas ir Ludovico Ferrari (1522- 1565) ketvirto laipsnio lygčių sprendimas (beje, laikyta absurdu spręsti ketvirto laipsnio lygtis, kai pasaulis tėra trimatis);
1544 m. - Michael Stifel (? 1487-1567) – 8-ias kvadratinės lygties sprendimo formules apjungia į vieną; Solution of Quadratic

1593 m. - Francois Viete (1540-1603) kubinėms lygtims casus irreducibilis išsprendžia panaudodamas trigonometrines funkcijas;
1594 m. - F. Viete išsprendžia atskirą 45-ojo laipsnio lygtį išskaidydamas ją į kubines ir 5-ojo laipsnio lygtis. Vėliau pateikia bendrą kubinės lygties sprendimą, kuriame tereikia ištraukti tik vieną kubinę šaknį;
1629 m. - Albert Girard (1595-1632) išsako teiginį, kad n-tojo laipsnio lygtis turi n sprendinių;
1637 m. - Rene Descartes (1596-1650) pateikia taisyklę, pagal kurią nustatoma polinomo teigiamų šaknų kiekis;
1666 m. - Izaokas Niutonas (1642-1727) randa rekursinį būdą šaknų sumai išreikšti duotu laipsniu koeficientų pagalba;
1669 m. - I. Niutonas pateikia savo iteratyvų metodą apytiksliai šaknies reikšmei paskaičiuoti;
1676 m. - I. Niutonas įveda paralelogramą apytikslėms visų y_ij reikšmėms rasti, kai sum(x_ijy_ij) = 0, visiems i ir j nuo 0 iki begalybės;
1683 m. - Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1646-1716) apibendrina tiesinę perstatą, kuri eliminuoja x^n-1 narį n-tojo laipsnio polinome, po to siekiant eliminuoti x^n-
2 ir x^n-3 narius. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nurodė, kad bandant eliminuoti x^n-4 narį gaunama lygtis, kuri sudėtingesnė už pradinę;
1691 m. - Michael Rolle (1652-1719) įrodė, kad f'(x) turi nelyginį šaknų skaičių intervale tarp dviejų gretimų f(x) šaknų;
1694 m. - Edmund Halley (1656-1742) aptarė iteratyvų 4-ojo laipsnio lygčių su simboliniais koeficientais sprendimą;
1728 m. - Daniel Bernoulli (1700-1782) polinomo didžiausią šaknį išreiškė kaip gretimų šaknų sumų santykio ribą;
1732 m. - Leonardas Oileris (1707-1782) nesėkmingai bandė rasti n-ojo laipsnio polinomo sprendimą pen-ojo laipsnio šaknų sumas;
1733 m. - E. Halley kvadratinę lygtį išsprendžia naudodamas trigonometrines funkcijas;
1748 m. - Colin Maclaurin (1698-1746) apibendrina Niutono ryšius laipsniams, didesniems nei polinomo laipsnis;
1757 m. - Johann Heinrich Lambert (1728-1777) pateikia eilę sprendimų trinarėms lygtims x^p + x + r = 0; Leonard Euler

1762 m. - Etienne Bezout (1730-1783) ir L. Oileris (Euler) nesėkmingai bando surasti n-ojo laipsnio polinomo sprendimą kaip tiesines n-ojo laipsnio šaknies laipsnių kombinacijas;
1767 m. - Joseph Louis Lagrange (1736-1813) realiąsias polinomo šaknis išreiškia kaip grandininę trupmeną;
1760 m. - J. Lagranžas (Lagrange) funkciją išplečia kaip kitos funkcijos laipsnių seką ir tai panaudoja trinarių lygčių sprendimui;
1770 m. - J. Lagranžas parodo, kad 5-ojo ir aukštesnių laipsnių polinomai neišsprendžiami naudojant metodus, kuriais sprendžiamos žemesnio laipsnio lygtys;
1770 m. - L. Oileris pateikia lygties

x^m+n + ax^m + 
bxⁿ

sprendinius;
1770 m. - John Rowning (1699-1771) sukuria pirmą mechaninį prietaisą polinomų sprendimui. Nors prietaisas veikė bet kokiam laipsniui, praktinis panaudojimas tebuvo tik kvadratinėms lygtims;
1771 m. - Gianfrancesco Malfatti (1731-1807), pradėjęs su 5-ojo laipsnio lygtimi, randa 6-ojo sprendinius, jei 5-ojo laipsnio lygtis išsprendžiama per radikalus;
1786 m. - Elland Samuel Bring (1736-1798) įrodo, kad kiekvieną penktojo laipsnio lygtį galima transformuoti į x⁵ + az + b = 0;
1796 m. - Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) nustato maksimalų šaknų skaičių intervale;
1799 m. - Paolo Ruffini (1765-1822) išleidžia knygą „Bendroji lygčių teorija", kurioje nurodo, kad aukštesnio už 4-ojo laipsnio lygčių algebrinis sprendimas yra negalimas;
1799 m. - Karlas Friedrichas Gausas (1777-1855) įrodo fundamentaliąją algebros teoremą: kiekviena polinominė lygtis be konstantų turi bent vieną šaknį;
1801 m. - K. Gausas (Gauss) ciklotiminę lygtį z¹⁷ = 1 išsprendžia per kvadratines šaknis;
1819 m. - William George Horneris (1768-1847) pateikia taisyklę efektyviam skaitmeniniam polinomo įvertinimui. Panašią idėją buvo pasiūlęs ir P. Rufini;
1826 m. - Wilniels Henrik Abelis (1802-1829) paskelbia įrodymą, kad aukštesnio už 4-ojo laipsnio lygčių algebrinis sprendimas yra negalimas;
1829 m. - Jacques Charles Francois Sturm'as (1803-1855) nustato polinomo realių šaknų skaičių intervale;
1829 m. - Carl Gustav Jacobi (1804-1851) nagrinėja elipsinių lygčių moduliarines lygtis, kurios buvo esminės Ermito 5-ojo laipsnio lygčių sprendimui (1858);
1831 m. - Ogiustas-Luisas Koši (1789-1857) nustatė, kiek polinomo šaknų yra kompleksinių skaičių plokštumos kontūre;
1832 m. - Evariste Galois (1811-1832) surašė pagrindines savo teorijos idėjas dieną prieš savo žūti dvikovoje;
1832 m. - Friedrich Julius Richelot (1808-1871) ciklotiminę lygtį z²⁵⁷ = 1 išsprendžia per kvadratines šaknis;
1834 m. - George Birch Jerrard (1804-1863) parodo, kad kiekvieną penktojo laipsnio lygtį galima transformuoti į x⁵ + az + b = 0;
1837 m. - George Heinrich Graeffe (1799-1873) sukūrė plačiai naudojamą metodą skaitinėms šaknims rasti rankiniu būdu (panašias idėjas jau buvo pasiūlė ir kiti matematikai);
1838 m. - Pafnuti Čebyševas (1821-1894) apibendrina I. Niutono metodą apytiksliam polinomo šaknų radimui, kad tasai greitai konverguotų;
1840 m. - L. Lalanne sukuria mašiną polinomų iki 7-ojo laipsnio sprendimui;
1854 m. - Josef Ludwig Raabe (1801-1859) šaknų radimo uždavinį pakeičia diferencialinės lygties sprendimus
1858 m. - Šarlis Ermitas (1822-1901), Leopold Kronecker (1823-1891) ir Francesco Brioschi (1824-1897) nepriklausomai išsprendžia 5-ojo laipsnioo lygtis panaudodami elipsines lygtis;
1862 m. - William Hamilton'as (1805-1865) užpildo kai kurias spragas Abelio negalimumo įrodyme;
1869 m. - Johannes Karl Thomae (1840-1921) nustato, kaip atvaizduoti šaknis panaudojant Siegel'io funkcijas;
1870 m. - Camille Jordan (1838-1922) parodo, kad bet kurio laipsnio algebrines lygtis galima išspręsti naudojant moduliarines funkcijas;
1871 m. - Ludwig Sylow (1832-1918) užbaigia Galua (Galois) įrodymą apie išsprendžiamumą;
1877 m. - Felix Klein (1849-1925) išsprendžia ikozahedralinę lygtį hipergeometrinių funkcijų pagalba. Tai leidžia jam pateikti glaustą sprendimą 5-ojo laipsnio lygtims;
1884, 1892 m. - Ferdinand von Lindermann (1852-1939) polinomo šaknis išreiškia kaip theta funkcijas;
1891 m. - Karl Weirstrass (1815-1897) pateikia iteratyvią schemą, vienu metu nustatančią visas polinomo šaknis;
1892 m. - David Hilbert (1862-1943) įrodė, kad kiekvienam n egzistuoja n-ojo laipsnio polinomas su racionaliais koeficientais su Galua grupe, simetrine S_n;
1895 m. - Emory McClintock (1840-1916) pateikia eilę sprendinių visų polinomo šaknų radimui;
1915 m. - Robert Hjalmal Mellin (1854-1933) išsprendžia laisvai pasirinktą polinomą su savo integralais;
1934 m. - Richard Brauer (1901-1977) nagrinėja Kleino 5-ojo laipsnio lygčių sprendinį panaudodami laukų teoriją;
1938, 1942 m. - Emil Artin (1898-1962) laukų teoriją panaudoja kurdamas šiuolaikinę algebrinių lygčių teoriją;
1957 m. - Vladimir Arnold, panaudojęs Andrejaus Kolmogorovo (1903-1987) rezultatus, parodo, kad supaprastinto 7-ojo laipsnio polinomo šaknis galima išreikšti tolygiomis dviejų kintamųjų funkcijomis, taip neigiamai atsakęs į Hilberto 13-ąją problemą;
1984 m. - Hiroshi Umemura laisvai pasirinkto polinomo šaknis išreiškia elipsinėmis Siegel'io funkcijomis;
1989 m. - Peter Doyle ir Curt McMullen sukuria konverguojantį iteratyvų algoritmą skaitiniam supaprastintai 5-ojo laipsnio lygčiai spręsti, remdamasis ikosahedraline lygtimi;
1991, 1992 m. - David Dummit ir Sigeru Kobayashi su Hiroshi Nakagawa (nepriklausomai) pateikė metodus, leidžiančius rasti išsprendžiamų 5-ojo laipsnio lygčių šaknis per radikalus;
1994 m. - A. Wiles įrodo Didžiąją Ferma teoremą
2003 m. - G. Perelmanas įrodo Poincare teiginį
...