Teisiniai ginčai dėl „didžiausio 20 a. matematiko“ palikimo  

Penki matematiko vaikai sako, kad Nacionalinės bibliotekos 45 tūkst. dolerių įvertinimas už tėvo 30 tūkst. puslapių rankraščių, yra apgailėtinas. A. Grotendikas paskutinius du dešimtmečius gyveno visiškai atsiskyręs. Jo nepublikuoti rašiniai (paties vadinami „skrebalais“) ilgus metus buvo spekuliacijų ir ginčų objektu.

Jo 7-ojo dešimtm. atradimai algebrinėje geometrijoje, nustatant stiprius sąryšius tarp geometrijos ir skaičių, yra esminiai genetikai, robototechnikai ir kriptografijai. Ar tie tankiai priskrebenti puslapiai atskleidžia naujas matematines idėjas, o gal jie išreiškia požiūrį pacifistiniais ir ekologijos klausimais ar „satanistinių įtakų“ apsėdimus? Vienas jo mokinių, matęs kai kuriuos puslapius, sakė, kad kai kuriuose jų pateikiami asmeninės holokausto aukų (kuria buvo ir jo tėvas, beje, anarchistinių pažiūrų, kurias perėmė ir jo motina) biografijos.

Tačiau matematikui mirus prasidėjo teisiniai ginčai dėl jų tarp jo vaikų, Nacionalinės bibliotekos ir Montpellier‘o un-to. Vaikai „sąžiningos“ kainos įvertinimui pateikė dar 5-ias dideles metalines dėžes su dokumentais. Jose tikimasi esant dar apie 30 tūkst. puslapių. Į juos taikosi ir turtingi JAV un-tai.

Byla baigta 2017 m. gegužę sutarimu leisti universitetui skaitmenizuoti jo palikimą (apie 28 tūkst, užrašų), suteikiant viešą prieigą prie jų (Montpellier gribouillis) Montpellier universiteto svetainėje. Taip padaryta siekiant palengvinti jo mokslinio palikimo išsaugojimą ir viešą dalijimąsi juo.

Tačiau vis tik koks tas A. Grotendiko indėlis matematikoje?

Nuo 6-ojo dešimtm. pradžios, kai tebuvo 20 m. amžiaus, A. Grotendikas parašė tūkstančius puslapių oficialių ir neoficialių užrašų, kurie pakeitė matematikos eigą. Tačiau 8-me dešimtm, jis paliko savo pareigas prestižiniame tyrimų institute netoli Paryžiaus, kad dėstytų provincijos Monpeljė universitete, kuriame kadaise studijavo bakalauro studijas. Aleksandras Grotendikas Jis beveik nustojo bendrauti su kitais matematikais. Galiausiai paskutinio 20 a. dešimtmečio pradžioje jis persikėlė į mažą kaimelį Pirėnuose, kur gyveno kaip atsiskyrėlis.

O matematikai iki šiol tebebando apmąstyti jo įvestas naujoves. Jo darbai pakėlė matematiką į naują abstrakcijos lygį, sutelkdami dėmesį į objektų tarpusavio santykius (o ne į pačius objektus). „Jei matematikoje yra vienas dalykas, kuris mane žavi labiau nei bet kas kitas (ir neabejotinai visada žavėjo), tai ne „skaičius“, nei „dydis“, o būtent forma. Ir tarp tūkstančio ir vieno veido, kuriais mums atsiskleidžia forma, mane labiausiai žavėjo ir tebežavi matematiniuose dalykuose paslėpta struktūra“ - rašė jis savo memuaruose (skaitykite lokalią kopiją).

A. Grotendikas geriausiai žinomas darbais algebrinės geometrijos srityje, kuri pradžioje išsivystė kaip formų, apibrėžtų polinominėmis lygtimis, tyrimas. Tos lygtys gali būti visai paprastos, tokios kaip tiesė (x–y=0) arba apskritimas (x2+y2-1=0). Tačiau kai imama vis daugiau kintamųjų, pakeltų aukštesniais laipsniais, ir ieškoma sprendinių, kurie tenkintų daugelio lygčių rinkinius, o ne tik vieną, viskas tampa gerokai sudėtingiau ir abstrakčiau. Sritis išpopuliarėjo 19 a. pabaigoje, ėmus kelti klausimus apie tai, kas nutinka, jei vietoj įprastų skaičių į lygtis įtraukiama skaičių iš kitų, abstraktesnių aibių.

Ir nors buvo įdomi ir gyvybinga, ji irgi išgyveno tam tikrą krizę, kaip vėliau rašė D. Mumfordas4): „Kiekvienas tyrėjas [joje] naudojo savo apibrėžimus ir terminologiją, kuriuose dalyko „pagrindai“ buvo aprašyti bent puse tuzinu skirtingų matematinių kalbų … Tada atėjo Grotendikas ir apvertė … [tą] pasaulį aukštyn kojomis, pritrenkdamas juos nauja terminologija,... o taip pat daugybe naujų ir labai įdomių rezultatų“.
Jis labiausiai žinomas dėl matematinių konstrukcijų, kurios padėjo jam ir kitiems įrodyti ilgą laiką „kabojusius“ spėjimus, kurie galiausiai tapo svarbiais tyrimų objektais. Jo darbai įtraukė algebrinę geometriją ir į daugelio kitų matematikos sričių, įskaitant topologiją, skaičių ir atvaizdavimų teorijas bei logiką, tinklą

Jo pirmasis svarbus rezultatas algebrinėje geometrijoje buvo 1957 m. atliktas Rymano-Rocho teoremos apibendrinimas; teorema įrodyta prieš šimtmetį ir ji nurodo, kaip paviršiaus forma riboja joje apibrėžtą funkciją. Tai „akimirksniu išgarsino jį matematikos pasaulyje“.

Tada, taip pat labai greitai, A. Grotendikas perėjo prie kitko.
Mat prieš dešimtmetį Andre Weil’as iškėlė hipotezę apie ryšį tarp polinominių lygčių, apibrėžtų dviejose labai skirtingose ??matematinėse aplinkose, sprendinių: pirmąja buvo baigtiniai laukai – skaičių sistemos, veikiančios pagal ciklinę aritmetikos formą (t.y. moduliu, o antrąja – kompleksiniai skaičiai. A. Weil’as pateikė 4-is teiginius, kurie susiejo vienos aplinkos polinomus su kitos. Siekdamas įrodyti tuos teiginius, A. Grotendikas pasiūlė schemos sąvoką.

Iki Weil’o matematikai apie tokias lygtis kaip x2 +y2-1=0 kalbėdavo tik nurodydami konkrečią skaičių sistemą, kurioje jie norėjo dirbti. Tokių lygčių sprendimai visai skyrėsi, kai x ir y buvo leistini tik sveikieji skaičiai, nuo to, jei jie galėjo būti bet kokie realieji ar kompleksiniai skaičiai.

A. Grotendikui paaiškinus, kodėl Weil’o teiginiai yra teisingi, matematikai pradėjo tikėti, kad lygtys turi prasmingą struktūrą nepriklausomai nuo to, ar x ir y yra kompleksiniai skaičiai, ar baigtinio lauko elementai, ar … bananai. Iš pradžių šis įsitikinimas atrodo toks pat nelogiškas, kaip ir teigimas, kad sakinys turi prasmę nepriklausomai nuo to, iš kokios kalbos pasirenkami jo žodžiai. Tačiau A. Grotendikas apibrėžė matematines struktūras, kurios leido tokius teiginius pateikti griežtai ir netgi intuityviai tiems, kurie įvaldė jo naująją kalbą.

Schemos yra geometrinės erdvės, sudarytos iš abstrakčių algebrinių elementų.
Pradėkime nuo abstraktaus sveikųjų skaičių apibendrinimo, vadinamo žiedu. Žiedas yra elementų aibė, kurioje galima sudėti, atimti ir dauginti kartu, bet ne visada galima dalyba (pvz., sveikųjų skaičių žiede negalima dalinti 2 iš 3, nes 2/3 nėra sveikasis skaičius).

Tada pažiūrėkime į savo žiedo poaibį, kuris yra „uždaras“ (t.y. sudėjus arba atėmus du poaibio elementus, rezultatas taip pat yra poaibyje. Pvz., paimkime visus kartotinius 5-etui. Šis poaibis ne tik uždaras, bet ir turi dar vieną savybę: bet kurį žiedo skaičių galite padauginti iš poaibio elemento, ir rezultatas neišvengiamai lieka poaibyje. Tai poaibį paverčia idealu.

Be to, jei sudauginsite bet kuriuos du pradinio žiedo skaičius ir pateksite į šį poaibį (pvz., 3×5=15), tai vienas iš skaičių, kuriuos padauginote (5), taip pat turėjo būti šiame poaibyje, net jei kitas skaičius (3) jame nėra. Ši antroji savybė poaibį paverčia pirminiu idealu (norėdami suprasti, kodėl, pažiūrėkite į kartotinius 6-tui; jie sudaro idealą, bet ne pirminį idealą, nes 2×3 yra ideale, bet nei 2, nei 3 jame nėra).

Sveikųjų skaičių atveju pirminiai idealai yra kartotinių aibės, atitinkančios kiekvieną pirminį skaičių kartu su nuliu. Galima tyrinėti visų žiedo pirminių idealų aibę kaip vieną geometrinę erdvę. Pirmiausia, kiekvieną pirminį idealą pavaizduokite kaip tašką. Tada apibrėžkite tų taškų „topologiją“, kuri juos suskirsto į kaimynystes, atsižvelgiant į jų bendrus elementus (keista, bet nulinis idealasA> galiausiai yra „artimas“ prie kiekvieno pirminio skaičiaus, iliustruodamas anksčiau nežinomą struktūrą, paslėptą už sveikųjų skaičių).

A. Grotendiko naujovė buvo pridėti sluoksnį virš šios erdvės – neseniai atrastą matematinę superstruktūrą, vadinamą pėdu, kuriame yra papildomos algebrinės informacijos (skaitykite papildomą pėdų paaiškinimą).

Pvz., kiekviename mūsų erdvės taške šis pėdas prijungia kitą aibę, vadinamą stiebu. Grįžkime prie vieno iš sveikųjų skaičių pirminių idealų: taško mūsų erdvėje, vaizduojančio visų 5 kartotinių poaibį. Prie šio taško prijungtas stiebas apimtų visas trupmenas, kurių vardikliai nesidalija iš 5 (prie 0 prijungtas stiebas apimtų visas įmanomas trupmenas).
Stiebų pavyzdys

Šiame paprastame pavyzdyje sunku suprasti, ką duoda stiebai, tačiau sudėtingesnėse schemose stiebų turinio ir jų sąveikos vienas su kitu skaičiavimas pasirodė esąs matematiškai galingas aparatas.

Visas tasai objektas – pirminių idealų erdvė su ant jos pastatytu pėdu (ir visais jo stiebais) – vadinamas afinine schema. Paprastai schemos konstruojamos tiksliai matematiškai suklijuojant afinines schemas.

Taigi, ką visa tai turi bendro su lygtimi x2+y2-1=0?  Na, … užuot pradėję nuo sveikųjų skaičių žiedo, galite tyrinėti konkretų žiedą, susietą su tuo daugianariu. Tada galite sukurti to žiedo schemą.

Tačiau svarbiausia, kad kintamieji x ir y gali būti bet kokie, kokių tik norite: sveikieji skaičiai,  realieji skaičiai,  kompleksiniai skaičiai, baigtinio lauko elementai. Tyrinėdami schemos savybes, galite suprasti lygties struktūrą, nepriklausomai nuo konkrečios skaičių sistemos. Nors tai gali skambėti neįtikėtinai. Tai būdas tyrinėti sakinį atskirai nuo kalbos, kuria parašyti žodžiai.

Kalbant plačiau, būtent todėl A. Grotendikas ir kiti galėjo naudoti schemas (ir jomis pagrįstas idėjas) norėdami iš naujo įrodyti vieną iš 4-ių Weil’o hipotezių ir įrodyti dar dvi. (A. Grotendiko mokinys Pierre Deligne vėliau panaudojo kitas A. Grotendiko sukurtas struktūras, norėdamas įrodyti 4-ąjį teiginį, kuris yra garsiosios Rymano hipotezės versija baigtinių laukų kontekste). O A. Grotendikas toliau kūrė dar abstraktesnes ir galingesnes sąvokas, įskaitant toposus, rietuves (stack), motyvus ir etalinę kohomologiją. Visos jos vaidina svarbų vaidmenį algebrinėje geometrijoje ir kitose matematikos srityse šiandien.

Schemos suteikė matematikams naują, sistemingą būdą tirti objektų ryšius algebrinėje geometrijoje. Kadangi schemos leidžia tirti žiedus, su kuriais susiduriama visoje matematikoje, kaip geometrines erdves, jas galima naudoti geometriniams metodams pritaikyti algebroje, skaičių teorijoje ir kitur.

A. Grotendiko idėjos buvo sudėtingos, bet „dauguma argumentų yra labai aiškūs, kai viską išdėstai.

Aleksandras Grotendikas

Biografija:

Aleksandras Grotendikas (Alexander Grothendieck, 1928-2014) – prancūzų matematikas, gimęs Vokietijoje, tačiau 1971 m. natūralizuotas Prancūzijoje. Priklausė „Nikolia Burbaki“ pasivadinusiai matematikų grupei. Be algebrinės geometrijos, pasižymėjo skaičių teorijos, kategorijų teorijos, homologinės algebros, o ankstyvuoju laikotarpiu ir funkcinės analizės srityse.
„Pratrūko“ 7-me dešimtmetyje. 1968 m. „Paryžiaus pavasario“ metu pastebėjo, kad profesūra palaiko ne studentus, o „buržuazinę“ vyriausybę. 1969 m. sužinojo, kad IHES dalinai finansuoja kariškiai ir jį paliko. Vėliau atkreipė dėmesį, kad tarp matematikų yra „aristokratai“ ir „baudžiauninkai“, kurių darbus eksploatuoja pirmieji.1970 m., kartu su dviem kitais matematikais (K. Ševaljė ir P. Samueliu2) ), įkūrė antikarinį ir ekologinį judėjimą „Išgyventi“ (Survivre), leidusį biuletenį ir skelbusį, kad mokslo pasiekimus reikia uždrausti naudoti kariškiams. 1966 m. jam paskirtas Fieldso medalis, kurios atsiimti į Maskvą nevyko protestuodamas prieš kitaminčių persekiojimus TSRS. 1988 m. jis atsisakė kito prestižinio apdovanojimo, Krafordo premijos1), nes mokslas bus sunaikintas „civilizacijos totalios destrukcijos“.
1991 m. nutraukė akademinę veiklą ir užsiėmimus matematika, persikeldamas į Pirėnų rajoną ir tapdamas ūkininku ir pacifistu. Kažkiek užsiėmė biologija, ekologija ir netgi ezoterika (1987 m. parašytas 315 psl. rankraštis atskleidžia, kaip jo susidomėjimas sapnų priežastimi atvedė prie išvados, kad Dievas egzistuoja).

1) Krafordo premija (Crafoord Prize) - Švedijos Karališkosios mokslų akademijos premija, skiriama 4-iose nominacijose: matematika ir astronomija, Žemės mokslai, biologija ir poliartrito gydymui skirti darbai. Skiriama kasmet po vienai nominacijai; poliartrito gydymui skirta premija skiriama tik tada, kai nusprendžiama, kad padrymus žymus postūmis. Premiją 1980 m. įsteigė švedų verslininkas H. Krafordas. Premijos vertė – 6 mln. kronų.
Pirmaisiais laureatais matematikos srityje 1982 m. tapo V. Arnoldas (TSRS) ir L. Nirenbergas (JAV) už darbus netiesinių diferencialinių lygčių srityje.
2016 m. premija matematikos srityje skirta J. Eliašbergui (rusų kilmės JAV matematikas) už kontaktinės ir simpleksinės topologijos vystymą. 2024 m. premiją matematikos srityje gavo prancūzė Claire Voisin (g. 1962 m.) už indėlį indėlis į kompleksinę ir algebrinę geometriją - ir tai vienintelė moteris gavusi premiją matematikos srityje.

2) Pjeras Samuelis (Pierre Samuel, 1921-2009) – prancūzų matematikas, Nikola Burbaki grupės narys, žinomas darbais komutatyvių algebrų ir jų taikymo algebrinėje geometrijoje darbais. Buvo Paris-Sud un-to profesoriumi. Jo paskaitos apie unikalias faktorizacijos sritis buvo svarbios skaičiuojant Zariskio paviršiaus Pikardo grupę. Klasika laikomas jo dvitomis „Komutatyvi algebra“ (1975, su O. Zariskiu). Kitos jo knygos skirtos projektyviajai geometrijai ir algebrinei skaičių teorijai. Jis žinomas ir visuomeninėje veikloje, ypač ekologijos srityje, 1970 m. su A. Grotendiku ir K. Ševaljė įkūręs „Survivre et vivre“ draugiją.

3) Vladimiras Arnoldas (1937-2010) – kilęs iš Odesos tarybinis matematikas, matematikos populiarintojas, darbavęsis topologijos, diferencialinių lygčių, tolydžių atvaizdavimų ir teorinės mechanikos srityse. Geriausiai žinomas Kolmogorovo-Arnoldo-Moserio teorema apie integruojamų sistemų stabilumą, išsprendžiančia 13-ąją Hilberto problemą. Dirbo MVU (1961-86), Steklovo matematikos inst-te (1986-93) ir Paryžiaus Dauphine un-te (nuo 1993 m.). Buvo vienas iš Nepriklausomo Maskvos un-to steigėjų. Yra gavęs Krafordo premiją. Jo garbei pavadintas „Arnoldo matematinis žurnalas“ ir asteroidas 10031.

4) Deividas Mamfordas (David Bryant Mumford, g. 1937 m.) - britų matematikas, Fieldso medalio laureatas (1974), žinomas darbais algebrinės geometrijos srityje, pratęsdamas nuo O. Zariskio tebesitęsiančią tradiciją ir ištraukęs naudą iš Grotendiko idėjų. Svarbūs jo darbai apie algebrinės geometrijos „patalogijas“, glotnių projektyvinių paviršių klasifikaciją, invariantų teoriją ir sumodernintą teta-funkcijų teoriją. Užsiima ir dirbtinio intelekto srityje.

Fieldso medalis
Jų begalinė išmintis
Černo medalis matematikams
2018 metai matematikoje
Nobelio premija literatūrai
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Matematikos šlovė ir garbė
Kai kurios pirminių skaičių formos
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
G. Perelmanas - nesuprasi keistuolio?
J. Tate: Abelio premijos laureatas
Abelio premija 2012-ais - vengrui
Kas per velnias tie pėdai topologijoje?
Algoritmų pirmeivis laimėjo Kyoto premiją
„Dviejų vokų“ paradoksas
Aslanas R. Kasimovas
Matematikai: Anri Puankarė
Iniciatyva: Matematikos keliu
D. Spielmanas gavo Nevanlinna premiją
Matematikai: Davidas Hilbertas
Abelio premijos laureatai
Matematiniai anekdotai
Moterys matematikoje
Vartiklis