Didžioji Ferma teorema. Vartiklis

Teorema teigia, kad kiekvienam sveikam teigiamam n, kai n > 2, lygtis
aⁿ + bⁿ = cⁿ
neturi sprendinių.

Kai n=3, dar 10 a. ją bandė įrodyti tiurkų matematikas Abu al-Hodžendi^*) (Khojandi), tačiau jo įrodymas nėra išlikęs.

Bendruoju atveju teoremą 1637 m. Diofanto „Aritmetikos" paraštėse suformulavo Pjeras Ferma, prirašęs, kad jo rastas įrodymas pernelyg ilgas, kad jį būtų galima ten surašyti:
„Atvirkščiai, negalima išskaidyti kubo į du kubus, bikvadrato į du bikvadratus ir aplamai bet kurį laipsnį, aukštesnį už kvadratą, į du to paties lygio laipsnius. Radau iš tikro nuostabų įrodymą, tačiau knygos paraštės per siauros jam".
Post stamp: Fermat theorem

Pastaba: 1670 m. P. Ferma sūnaus parengtas Diofanto „Aritmetikos“ leidimas į tekstą įtraukė minėtą P. Ferma pastabą.
Diofanto Aritmetika su ferma pastaba

Atvejus n = 4 ir n = 3 Ferma pasiūlė savo korespondentas, tarp kurių buvo M. Marsenne, B. Paskalis ir John Wallis. Kiek vėliau pats Ferma paskelbė atskiro atvejo, kai n = 4, įrodymą, kas kelia abejonių, kad jis turėjo bendrojo atvejo įrodymą, nes būtų neabejotinai tai paminėjęs tame straipsnyje. Ir galiausiai, per likusius 30 savo gyvenimo metų Ferma niekada daugiau nerašė apie bendrojo atvejo „nuostabų įrodymą".

[ n = 4 atveju Ferma įrodymas yra ekvivalentus įrodymui, kad sprendinių neturi lygtis
cⁿ - b⁴ = a²
Alternatyvius įrodymus vėliau pateikė daugelis kitų matematikų. ]

n = 4 atvejo įrodymas susiaurino problemą iki pirminių skaičių. Teoremą bandė įrodyti daugelis iškilių matematikų ir jų pastangos skatino skaičių teorijos vystymąsi. 1770 m. L. Oileris (Euler) įrodė teoremą, kai n = 3, 1825 m. Dirichlė ir A.-M. Ležandras, kai Pierre de Fermat

n=5, 1839 m. Lamė, kai n=7.

19 a. pradžioje Sophie Germain sukūrė kelis naujus metodus Ferma teoremos įrodymui. Pirmiausia, ji apibrėžė papildomų pirminių skaičių O aibę (vėliau pavadintai jos vardu - Sophie Germain pirminiais skaičiais), sudarytą iš laipsnio p pagal formulę, O = 2^p + 1, kur h yra bet koks sveikas skaičius, nedalus iš 3. Ji įrodė, jei joks p-ojo laipsnio skaičius neturi gretutinio modulio O (nenuoseklumo sąlyga), tada O turi dalinti sandaugą abc. Kadangi abc gali turėti tik baigtinį daugiklių skaičių, tas įrodymas įrodo ir Ferma teoremą. Ji išbandė daug technikų, bet nepasiekė savo strateginio tikslo. Tad ji perėjo prie atskirų atvejų. S. Germain įrodė, kad teorema teisinga visiems n < 100.

1847 m. G. Lamė pateikė Ferma teoremos įrodymo eskizą remiantis daugyba kompleksinių skaičių aibėje, ypač ciklotiminiu lauku. Jo įrodymas nepasisekė, nes laikė, kad tokie kompleksiniai skaičiai gali būti unikaliai sudauginti į pirminius. To negalimumą įrodė E. Kumeris.

Pats E. Kumeris ėmėsi nustatyti, ar ciklotiminis laukas gali įtraukti naujus pirminius skaičius, kad unikali daugyba būtų atstatyta. Jis to pasiekė įvesdamas idealius skaičius. Remdamasis G. Lamė eskizu, E. Kumeris įrodė Ferma teoremą plačiai, galbūt begalinei, pirminių skaičių, vadinamų reguliariaisiais, grupei. Pvz., tokie reguliarūs pirminiai skaičiai iki 100 yra 37, 59 ir 67.

9 dešimtm. pasirodė naujas problemos sprendimo būdas. Iš G. Faltingso 1983 m. įrodytos L. Mordelo hipotezės seka, kad lygtis a ⁿ + bⁿ = cⁿ, kai n > 3 gali turėti tik baigtinį paprastų sprendinių skaičių. 1984 m. Gerhardas Frėjus suformulavo teiginį:
jei p yra nelyginis pirminis skaičius, o a, b ir c - teigiami sveiki skaičiai tokie, kad lygtis
y² = x (x-a^p)+(x+b^p)
aprašo hipotetinę elipsinę kreivę (vadinamą Frėjaus kreive), kuri privalo egzistuoti, jei egzistuoja Ferma lygties sprendinys. Ši kreivė turi tokias neįprastas savybes, kad prieštarauja Tanijamos-Šimuros (Taniyama-Shimura) teoremai.

Taigi Ferma teoremos įrodymas tapo galimas dviem žingsniais. Pirmiausia, įrodyti, kad teisingas Frėjaus spėjimas, t.y., kad minėta elipsinė kreivė visada yra ne moduliarinės formos. Tai 1986 m. padarė Kenas Ribetas (Ken Ribet), pasiremdamas Ž.-P. Sero (Jean-Pierre Serre) darbu.

Antra, reikėjo įrodyti specialų Tanijamos-Šimuros teoremos atvejį. Tai padarė A. Vailsas (Andrew Wiles). Tad paskutinis žingsnis teoremos įrodyme buvo 1995 m. „Annals of Mathematics" paskelbtas A. Vailso straipsnis, pateikiantis 130 psl. apimties įrodymą. Pirmąjį savo įtempto 7 m. darbo variantą Vailsas paskelbė dar 1993 m., tačiau jame buvo surasta rimta klaida, tačiau su Ričardo Teiloro pagalba ją gana greitai pavyko pašalinti ir 1995 m. buvo paskelbtas galutinis variantas. Jis naudoja daugelį algebrinės geometrijos ir skaičių teorijos technikų.
Už šį įrodymą jam skirta 2016 m. Abelio premija.

Teoremos formuluotės paprastumas bei jos įrodymo sudėtingumas daugelį vis dar įkvepia kito, gerokai paprastesnio įrodymo paieškoms.

Atskiru atveju, kai n = 2, sprendinį tenkina Pitagoro trejetai (kurių vienas yra 3, 4, 5). Tokių trejetų yra begalinis skaičius ir jie buvo nagrinėjami daugelyje kultūrų, pradedant Babilono ir vėlyvojoje Graikijoje, Kinijoje bei Indijoje. Ferma teorema yra šios problemos tęsinys aukštesniems laipsniams.

Ferma lygtis aⁿ + bⁿ = cⁿ yra atskiras Diofanto lygčių atvejis. Diofanto lygtys yra polinomai su reikalavimu, kad jų sprendiniai būtų sveiki skaičiai. Jų pavadinimas kilo nuo 3 a. Aleksandrijos matematiko Diofanto, sukūrusio metodus sprendinių radimui, vardo. Tipinė Diofanto lygtis yra rasti du sveikus skaičius x ir y, kad jų ir jų kvadratų suma būtų lygi atitinkamai sveikiems skaičiams A ir B, t.y.

Diofanto pagrindinis veikalas buvo „Arithmetica", kurio išliko tik dalis. Ferma įkvėpė naujas „Arithmetica" leidimas, išverstas į lotynų kalbą ir išleistas 1621 m., kurio paraštėje Ferma ir suformulavo savo teoremą.

Diofanto lygtys buvo nagrinėjamos tūkstančius metų. Tiesinių lygčių (pvz., 3x + 7x = 44) sprendinius galima rasti naudojant Euklido algoritmą (5 a. pr.m.e.). Lygtis 3^m = 2ⁿ + 1 ir 3^m = 2ⁿ - 1 išsprendė Gersonidas (13 a.).

Daugelis Diofanto lygčių turi labai panašią formą į Ferma lygtį. Pavyzdžiui, žinoma, kad yra be galo daug sveikų skaičių, kurie tenkina

xⁿ + yⁿ = 
z^m

, kur n ir m yra pirminiai skaičiai.

Daugiamatės geometrijos požiūriu Ferma teorema perteikia tokį teiginį: Pitagoro teorema erdvėse, kurių matas n>2, neturi analogų, t.y., pvz., kad dviejų kubų tūrių suma nebus kubo, kurio kraštinė sveikas skaičius, tūriu.

6-7 dešimtm. ryšį tarp elipsinių kreivių ir moduliarinių formų suformulavo Goro Shimura, pasiremdamas kai kuriomis Yutaka Taniyma idėjomis. Vakaruose tai tapo plačiai žinoma po 1967 m. Andre Weil straipsnio. Taniyama-Shimura teiginys teigia, kad kiekviena racionali elipsinė kreivė yra moduliari.

Tuo pat metu 7-ojo dešimtm. pabaigoje Yves Hellegouarch iškėlė vidiškai naują idėją – sieti Ferma lygties sprendinius su visiškai skirtingu matematiniu objektu – elipsine kreive. Kreivę sudaro visi taškai plokštumoje, kurios lygtis:
y² = x (x-aⁿ)n)

Tokia elipsinė kreivė turi pasižymėti labai ypatingomis savybėmis dėl aukštų laipsnių jos formulėje bei fakto, kad
aⁿ + bⁿ = cⁿ
taipogi yra n-tuoju laipsniu.

1982-85 m. Gerhard Frey irgi atkreipė dėmesį į neįprastas tos lygties, dabar vadinamos Frėjaus kreive, savybes. Taip buvo nutiestas tiltas tarp Ferma ir Taniyama teiginių, kai Ferma lygties sprendinys leistų sukurti tokią elipsinę kreivę, kuri nėra moduliari.

1985 m. Jean-Pierre Serre teigė, kad Frėjaus kreivė negali būti moduliari ir pateikė dalinį įrodymą. Neįrodyta dalis buvo pavadinta epsilon-teiginiu. Serre pagrindinis dėmesys buvo netgi labiau ambicingas teiginys (vis dar neįrodytas) apie Galua (Galois) atvaizdavimus, kuris galėjo paveikti Taniyama-Shimura teiginį.

1986 m. vasarą Ken Ribet įveikė epsilon-teiginį (straipsnis paskelbtas 1990-ais). Tapo aišku, kad įrodymas to, kad visos racionalios pusiau-stabilios elipsinės formos yra moduliarinės reikš Ferma teoremos įrodymą. Ir A. Wiles nusprendė pasišvęsti Taniyama-Shimura teiginio įrodymui. Dauguma matematikų manė, kad jisai neįrodomas, nes atrodė, kad elipsinės lygtys ir moduliarinės formos nesusiję.

Dėl Vailso įrodymo patobulinimo

Per įrodymą sekusius dešimtmečius bandoma surasti, kaip jį patobulinti padarant labiau patikimu. Tačiau tos pastangos atspindi ir nesupratimą to, kas įrodymą pavertė tokiu svarbiu. E. Vailso ir R. Teiloro įvesti metodai tapo matematikų, dirbančių skaičių teorijos srityje, vienais iš instrumentų.

Ir matyt todėl šios srities matematikai neparodė susidomėjimo dviejų logikų (ir iš skirtingų žemynų) 2017-ais užsiminusių apie galimus Ferma teoremos patobulinimo būdus. Šie kalbėjo savo specializacijų (aibių teorijos ir teorinės kompiuterijos) kalba. Jų idėjos buvo iš esmės teisingos ir galėjo iškelti klausimus, ne mažiau svarbius nei pačios Ferma teoremos.

Minėto nesupratimo šaknys gali glūdėti ferma teoremos formuluotės paprastume. Iš esmės, jame esminis lūžis yra kai n=2 ir kai n yra didesni. Kelis šimtmečius matematikai bandė paaiškinti tą skirtumą.

Kompiuterininkas išreiškė džiugesį apie progresą įrodymų automatinės verifikacijos srityje.

Matematinė logika išsivystė tikintis matematikai suteikti tvirtus pagrindus, neprieštaringą aksiomų sistemą. Ir nors K. Giodelis atskleidė tų vilčių chimeriškumą, nemažai matematikos filosofų ir keletas logikų vis dar matematikos esme laiko ZFC (Zermelo-Fraenkel aibių teorijos aksiomų sistema) ir reikalavimus formaliam įrodymui.

Tačiau matematikai niekada tokiu būdu neužrašo savo įrodymų. Ir nuodugni Vailso įrodymo analizė rodo, kad jame daugelyje vietų nepaisoma ZFC. Kaip tada būti tikriems, kad pačių matematikų įsivestas taisykles kiti supras teisingai?!

Atrodo, kad atsakymu galėtų būti įrodymų automatinė verifikacija. Jis verčia performuluoti įrodymą į diskrečių teiginių, užrašytų vienareikšmiška kalba, seką, kurią vėliau patikrina kompiuteris. Tas skausmingas metodas buvo sėkmingai pritaikytas ilgiems ir sudėtingiems įrodymams (garsiausiu atveju buvo Th. Hales ir kolegų verifikuotą J. Keplerio uždavinį apie rutulių pakavimą, žr. >>>>>). Tad Vailso įrodymo patikrinimas atrodo esantis geru tikslu. Tačiau kompiuterininkas buvo giliai nusivylęs, kai nerado gero matematiko, pasiryžusio padėti.

Iš dalies tai paaiškina tai, kad Vailso įrodymas, nors ir esantis labai sudėtingu, turi aiškią struktūrą, prasidedančią Frėjaus kreivės, Galua atvaizdavimo ir moduliarinės formos sąryšiu. Tai 1986 m. įrodė K. Ribet’as, parodydamas, Frėjaus kreivę tenkinanti moduliarinė forma iššaukia reikalavimą, kad egzistuotų kita, 2 lygio ir su svoriu lygiu 2, moduliarinė forma. Tačiau neturėta moduliarinių formų – kurių E. Vailsas ir ieškojo 7-erius metus.

Tad jei kompiuterininkas siekė patiikrinti tik publikuotą tų sąryšių įrodymą, tai jis žvelgė labai siaura. Pilnas vadinamasis moduliarumo teiginys buvo nustatytas Ch. Breuil, B. Conrad, F. Diamond ir R. Taylor’o tik po kelių metų! Tai tik parodo, kiek matematikų ėmėsi praplėsti E. Vailso įrodymą, matydami jo idėjų derlingumą.

A. Wiles pasiryžo „skaičiuoti" ir priskirti elipsines kreives suskaičiuotoms moduliarinėms formoms. Jis nustatė, kad šis tiesioginis metodas neveikia, tad transformavo uždavinį į elipsinių kreivių Galua atvaizdavimų atitikimą moduliarinėms formoms, kitaip, kad tai yra žiedo homomorfizmas:
R_n -> T_n
kur R yra deformacijos žiedas, o T yra Hecke žiedas.

A. Wiles iškėlė teiginį, kad atitikimas tarp R ir T yra izomorfizmas tik tuo atveju, jei abi Abelio grupės yra baigtinės ir turi tą pačią galią (kardinalumą). Tada Ferma teorema gali būti suvesta į tvirtinimą, kad abi grupės turi tą patį laipsnį. Didelė įrodymo dalis susijusi su žiedų teorijos temomis ir teoremomis. Tai buvo ilgas ir sunkus kelias.

A. Wiles turėjo sukurti klasės skaitinę formulę (CNF). Jis pradžioje pabandė naudoti horizontaliąją Iwasawa teoriją, bet jam nepavyko sukurti CNF. 1991 m. vasaros gale jis sužinojo apie Matthias Flach straipsnį, kuriame buvo panaudojamos Viktoro Kolyvagino idėjos kurti CNF – tad A. Wiles atidėjo į šalį Iwasawa darbą. 1993 m. pavasarį jis jau apėmė beveik visas elipsines kreives. Tada jis peržiūrėjo savo argumentus kartu su Prinstono kolega Nick Katz. 1993 m. gegužę, skaitydamas B. Mazur'o straipsnį, A. Wiles suprato, kad perjungimas atvaizdavimų tarp moduliu 3 (mod 3) ir moduliu 5 (mod 5) gali išspręsti likusius aspektus ir padengti visas elipsines kreives (3 / 5 perjungimas). 1993 m. birželio gale A. Wiles paskelbė apie Taniyama-Shimura teiginio, o kartu ir Ferma teoremos įrodymą. Tai sulaukė plataus žiniasklaidos atgarsio.

Tada Katz'as uždavė eilę klausimų, iš kurių A. Wiles suprato, kad įrodymo kritinėje dalyje yra klaida. A. Wiles su savo buvusiu studentu Richard Taylor praleido beveik metus ją šalindami. 1994 m. rugsėjo 19 d. rytą jis pasiūlė naują būdą, remiantis Iwasawa teorija, kuris išsprendžia visas kilusias problemas ir leidžia sukurti reikiamą CNF. Spalio 6 d. jis pasiuntė naują įrodymą trim kolegoms, tame tarpe G. Faltings'ui. Naujas įrodymas buvo paskelbtas ir laikomas teisingu.

Kai kurios A. Wiles įrodytos teoremos yra pakankamai bendros, kad galėtų būti panaudotos įrodyti, kad ne tik elipsinės lygtys, bet ir kitos dvimačiai Galua atvaizdavimai siejasi su moduliarinėmis formomis.

Milijardierius A. Beal'as suformulavo teiginį, kuriame Didžioji Ferma teorema yra praktiškai atskiras atvejis. Dabartinė premija už Beal'o hopotezės įrodymą yra 1 mln. dolerių.
Skaitykite, kaip, panaudojant Beal'o hipotezę, būtų įrodoma Ferma teorema >>>>>

1816 m., o po to vėl 1850 m. Prancūzijos Mokslų akademija pasiūlė premiją už Didžiosios Ferma teoremos įrodymą. 1887 m. ji skyrė 3000 frankų premiją ir aukso medalį E. Kumeriui už idealius skaičius. 1883. m. premiją pasiūlė Briuselio akademija.

1908 m. vokietis, matematikos mėgėjas P. Volfskelis (Paul Wolfskehl) už Ferma teoremos įrodymą testamentu skyrė 100 tūkst. markių. Giotingeno akademija paskelbė 9 taisykles, kurių viena buvo, kad premija galioja iki 2007 m. rugsėjo 13 d. (taigi – lygiai 100 m.). Į Giotingeno mokslo akademiją atsiųstų „įrodymų“ skaičius netruko viršyti „amžino variklio“ ir laiko mašinos „išradimų“ skaičių, - vien pirmaisiais metais jų buvo 621. Dabar statistika jau nėra skaičiuojama, tačiau Akademijos sekretorius įvertino, kad jų buvo „per 5000”. Net dabar per mėnesį gaunami apie 4 straipsniai. Jei straipsnis tenkina formalius reikalavimus, jis atiduodamas saugojimui į Akademijos archyvą.
Po Pirmojo pasaulinio karo premija nuvertėjo. Ji, kurios vertė tuo metu buvo apie 50 tūkst. JAV dolerių, 1997 m. buvo įteikta A. Vailsui. Beje, jam kartu suteiktas ir riterio titulas.

^*) Abu al-Hodžendi (Abu Mahmud Hamid ibn Khidr Khojandi, apie 940 - 1000) – tadžikų matematikas ir astronomas iš Hodžento. Anot jį pažinojusio al-Birunio, jis buvolabai pažengęs astroliabijos ir kitų intrumentų gamybos srityje ir Rėjuje pastatė garsųjį sekstantą (994). Parašė kelias knygas astronomijos klausimais, o knygoje „Apie prabėgusias nakties valandas“ įrodė sinusų teoremą sferiniam trikampiui, leidusią supaprastinti nemaža astronomijos uždavinių (a/sin a=b/sin b=c/sin g). Taip pat įrodė atskirą Ferma teoremos atvejį (n=3); šis įrodymas neišliko, o jį mini Ibn al-Husainas.

^**) Ričardas Teiloras (Richard Lawrence Taylor, g. 1962 m.) – britų matematikas dirbantis skaičių teorijos srityje. Yra Stanfordo un-to ir Pažangių studijų ins-to profesoriumi. Jis 2014 m. gavo „Proveržio“ premiją už daugelį pasiekimų automorfinių formų srityje, tarp jų dėl Taniyama-Weil, Sato-Tate teiginių ir kt. Buvo E. Vailso studento ir padėjo jam 1993 m. užtaisyti spragą Ferma teoremos įrodyme įrodydamas dalį Taniyama-Simuros teiginio.

Moduliarinė forma yra kompleksinio kintamojo analitinė funkcija, apibrėžta viršutinėje plokštumos dalyje ir tenkinanti tam tikras sąlygas. Jų teorija priklauso kompleksinio kintamojo analizei, tačiau jų pagrindinė svarba yra pritaikymai skaičių teorijoje, o taip algebrinėje topologijoje bei stygų teorijoje.

Moduliarinė funkcija yra moduliarinė forma su svoriu 0: ji invariantinė moduliarinėje grupėje.

Moduliarinė grupė – grupė visų trupmeninių-tiesinių pertvarkymų, kurių pavidalas:
z |-> (az +b) / (cz + d)
Kur a, b, c ir d – sveiki skaičiai, tokie, kad ad – bc = 1.

Moduliarinė grupė yra pagrindinis objektas skaičių teorijoje, geometrijoje, algebroje ir daugelyje kitų matematikos sričių. Ji gali būti atvaizduota kaip geometrinių transformacijų grupė arba matricų grupė.

Izomorfizmą bendrais žodžiais galima apibūdinti taip: tegu yra dvi aibės su tam tikra struktūra (grupės, žiedai, tiesinės erdvės ir pan.). Bijekcija tarp jų yra vadinama izomorfizmu, jei ji išlaiko struktūrą. Tokios aibės vadinamos izomorfinėmis.

Izomorfiniai objektai yra tam tikra prasme „vienodai sukonstruoti". Klasikiniu izomorfinių sistemų pavyzdžiu gali būti visų realių skaičių aibė R su joje apibrėžta sudėties operacija ir teigiamų realių skaičių aibė R₊ su joje apibrėžta daugybos operacija. Atvaizdavimas x |-> exp(x) yra izomorfizmas.

Izomorfizmu neretai pasinaudojama, kai tiriamą problemą iš vienos matematikos srities pavyksta perkelti į kitą, kurioje jau yra įrodytos reikiamos teoremos ir išvystyti metodai (pvz., iš skaičių teorijos į elipsinių kreivių teoriją).

Abstrakčioje algebroje izomorfizmu vadinama bijekcija, esanti homomorfizmu. Tarkim G ir H yra dvi grupės. Bijekcija f:G --> H yra izomorfizmas, jei kiekvienam a ir b, priklausantiems G, f(a) * f(b) = f (a * b). Jei grupė yra topologinė, įtraukiama atitinkamų topologinių erdvių homeomorfiškumo sąlyga.

Aibės galia (kardinalumas) – tai apibendrinta aibės elementų kiekio sąvoka. Aibė {2, 4, 6} sudaryta iš 3 elementų, todėl jos galia yra 3. Tačiau ši sąvoka pritaikoma ir begalinėms aibėms ir leidžia nusakyti, kuri aibė yra „didesnė", o kuri „mažesnė". Aibės A galia žymima |A|. Dvi aibės turi tą pačią galią, jei tarp jų egzistuoja bijekcija, pvz., lyginių skaičių aibės lygi visų sveikų skaičių aibei (|E| = |Z|), nes galime apibrėžti bijekciją f(x) = x / 2.

Dvi baigtinės aibės turi tą pačią galią, jei jos turi vienodą elementų skaičių. Realių skaičių aibės R galia didesnė už natūrinių skaičių aibės N galią (t.y. |R| > |N| ), nes kiekvienas natūriniai skaičius priklauso ir realiųjų skaičių aibei (atvaizdavimas f(i) = i ) ir galima įrodyti, kad nėra bijektyvios funkcijos tarp R ir N.

Natūrinių skaičių aibės galia yra žymima aleph-0 (

), tuo tarpu realių skaičių aibės galia žymima kaip c (kontinuumo galia). Galima parodyti, kad c =

. Kontinuumo hipotezė teigia, kad

, t.y.

yra mažiausia galia, didesnė nei

(kad tarp sveikų ir realių skaičių nėra tokios aibės, kurios galia būtų tarpinė). 1887 m. Georgo Kantoro iškelta kontinuumo hipotezė tebėra neįrodyta. Ji yra pirmąja Hilberto 23-ių problemų sąraše.

Elipsinė kreivė – tai glotni kreivė, apibrėžiama formule (kartu su tašku begalybėje):

y² + a₁xy + a₃y = x³ + 
a₂x² + a₄x + a₅

Pastaba: kartais elipsine kreive pavadinima vien kreivė be ypatingojo taško O.

Kai lauko R, kuriame ji apibrėžta, charakteristika (Char R) nėra lygi 2 arba 3, lygtį, pakeitus koordinates, galima suvesti į kanoninį (Vejerštraso) pavidalą:
y² = x³ + ax + b

Elipsinės kreivės yra viena svarbiausių krypčių šiuolaikinėje skaičių teorijoje. Jos naudojamos kriptografijoje ir sveikų skaičių faktorizacijoje.

Iliustracija: Elipsinės kreivės su sveikais skaičiais: a tarp -2 ir 1, o b tarp -1 ir 2.
Kai a=b=0 kreivė nėra elipsinė kreivė, nes turi smailų kampą: