Revoliucija mazgų teorijoje: Apibendrinti mazgai. Vartiklis

Jei jau turime naują susikirtimų tipą, yra natūralu galvoti ir apie kitus, sukuriant apibendrintų mazgų tipų naujų rūšių zoologijos sodą. Naujo susikirtimo įvedimas reikalauja naujų Reidemeisterio tipo sąveikos taisyklių. Tos taisyklės arba veiksmai yra apibrėžti pagal norimą kombinatorinę, topologinę ar geometrinę interpretaciją. Pvz., Pieš. 6 iliustruoja kaip geometrinis virtualių mazgų supratimas kaip mazgų diagramų nubrėžiamas paviršiuose su ąselėmis, leidžiant vienus veiksmus, tačiau draudžiant kitus.

Mes matėme, kad virtualūs susikirtimai atvaizduoja ąselę paviršiuje, kuriame brėžiama mazgo diagrama. Plokšti susikirtimai yra klasikiniai susikirtimai, kai mes pamiršome, kuri gija eina viršumi, o kuri apačia; tai yra patogu tyrinėjant virtualią struktūrą atskirai nuo klasikinės struktūros ir gali būti suprantama kaip klasikinių susikirtimų „šešėliai“. Singuliarūs susikirtimai yra vietos, kuriose mazgas suklijuotas su savimi gijomis, susitinkančiomis fiksuota cikliška tvarka, t.y., standžios viršūnės. Mazgai I-pynėse virš neorientuotų paviršių yra vadinami persisukusiais virtualiais mazgais; mes pažymime, kai gija eina per susikirtimo kepurę su persisukimo brūkšneliu. Pieš. 7 rodo apibendrintus susikirtimų tipus kartu su jų geometrinėmis interpretacijomis. Pieš. 8 išvardija kai kuriuos jų interpretacijos dėsnius, o Pieš. 9 parodo kai kuriuos uždraustus veiksmus, kurie atrodo tikėtinais, tačiau nėra leisti remiantis topologinėmis motyvais apie naujus susikirtimo tipus.

Kombinatorinė revoliucija taip pat taikoma aukštesnių matavimų mazgams. Mazginiai paviršiai R⁴ erdvėje susidedantys iš R³ erdvės paviršių su perbrauktais lapais, žyminčiais susikirtimo informaciją. Kombinatoriškai tokie mazginiai paviršiai sudaryti iš blokų, turinčių taškų trejetus, blokų, turinčių kūgio taškus, blokų, turinčių susikertančių lapų poras ir blokų, turinčių atskirus lapus – kiekvieną su informacija apie tai, kaip yra sujungti blokai. Abstrakti mazginio paviršiaus diagrama leidžia jungti blokus laisva tvarka, apimant ir tuos, kurie reikalauja virtualių susikirtimų, kad tilptų į R³. Tada abstraktus mazginis paviršius yra tokių diagramų ekvivalentiškumo klasės su Rosemano veiksmais²⁾, kurie yra mazginių paviršių versija Reidemeisterio veiksmams [4].

Pieš. 7. Apibendrinti susikirtimų tipai

Naujų susikirtimo tipų įvedimas nėra vienintelis būdas kombinatoriškai apibendrinti mazgus; labai panašiai kaip aritmetikos taisyklių pakeitimas gali pakeisti Z į Z_n, leistinų veiksmų sąrašo pakeitimas pakeičiant, pašalinant ar įdedant naują veiksmą taip pat sukuria naujus „mazgų“ tipus, kurių atveju mes terminu „mazgas“ suprantame „diagramų ekvivalentiškumo klasę“. Kaip ir apibendrintų susikirtimų tipų atveju, tokios alternatyvios veiksmų aibės paprastai turi geometrinį ar topologinį pamatą. Vienu pavyzdžių yra įrėminti mazgai, kuriems geometrinė samprata yra mazgo jungčių apribojimas su aprėminančia kreive, kombinatoriškai atitinkančia I tipo veiksmo pakeitimą apsukimą išlaikančiu dvigubu I veiksmu, pavaizduoto Pieš. 10. Kitas pavyzdys yra užlipinti mazgai, kuriuose vija gali praeiti virš, bet ne po, virtualiuoju susikirtimu; užlipinti virtualūs susikirtimai vaizduojami kaip „prilipinti prie popieriaus“.

Apibendrinti mazgai turi neįprastų savybių, nesutinkamų klasikiniame mazgų pasaulyje. Apvertus virtualųjį mazgą, t.y., pažvelgus į jį iš kitos popieriaus pusės, paprastai gauname kitą virtualų mazgą¹⁾, skirtingai nei klasikiniu atveju, kaip apvertimas tėra tik pasukimas erdvėje. Panašiai, mes galime nuosekliai surišti du virtualiuosius mazgus ant virvutės ir gauti netrivialųjį mazgą! Pieš. 11 parodo Kišino mazgą, kuris yra dviejų nuoseklių trivialių virtualiųjų mazgų sujungimo rezultatas, kai gaunamas netrivialus virtualusis mazgas [19]. Skaitytojo prašoma pasitikrinti, kad du mazgai kairėje yra trivialūs ir pabandyti atrišti mazgą dešinėje naudojant tik leistinus veiksmus iš pieš. 3 ir 4 be draudžiamo veiksmo iš pieš. 9. Įrodymas, kad Kišino mazgas yra netrivialus virto gana sunkiu, reikalaujančiu tokių algebrinių invariantų, kokie aprašomi kitame skirsnelyje.

Nepaisant jų atrodančio keistumo, apibendrinti mazgai vis dažniau randa pritaikymus tiek pačioje mazgų teorijoje, tiek už jos ribų. Kiekvienas virtualių mazgų invariantas automatiškai yra įprastinio klasikinio mazgo invariantu. Virtualiųjų mazgų diagramos atsiranda skaičiavimuose fizikos srityje įtraukiant neplokštumines Feinmano diagramas [27]. Apie n-laipsnio viršūnes galvojant kaip apie susikirtimo tipą, kombinatorinė revoliucija išsiplečia į erdvinę grafų teoriją, t.y. grafų sutalpinimą į R³, turint taikymus modeliuojant molekules biochemijoje kaip ir teorinės fizikos srityse, tokiose kaip sukinių tinklai.

²⁾ Denis Rozemanas (Dennis Roseman) – amerikiečių matematikas, Ajovos un-to profesorius. Išleido vadovėlį „Elementarioji topologija“ (1999). Domėjimosi sritys: mazgų teorija, sumaztyti paviršiai 4- matėje erdvėje, mazgų energijos, matematinės vizualizacijos, matematika ir muzika. Jis įvedė veiksmus su mazgais 4-ėje erdvėje, analogiškus Reidemeisterio veiksmams. Pomėgiai: folkloro ir polkų muzika, ekologinė daržininkystė.

[4] J. Scott Carter, Seiichi Kamada, and Masahico Saito, Geometric interpretations of quandle homology, J. Knot Theory Ramifications 10 (2001), 345–386.

[19] Toshimasa Kishino and Shin Satoh, A note on non-classical virtual knots, J. Knot Theory Ramifications 13 (2004), 845–856.

[27] Paul Zinn-Justin and Jean-Bernard Zuber, Matrix integrals and the generation and counting of virtual tangles and links, J. Knot Theory Ramifications 13 (2004), 325–355.

Pieš. 10. Įrėminta Reidemeisterio I veiksmo versija

Pieš. 11. Kišino virtualusis mazgas