Graikų matematikai - filosofai  

Graikai labai plačiai išvystė matematiką. Šioje srityje jie viešpatavo kelis amžius ypač išvystę skaičių, lygčių teorijas bei geometriją. Pirmuoju didžiuoju graikų matematiku reiktų laikyti Talį iš Mileto (apie 624-547 m. pr.m.e.), o jo mokinys Anaksimandras iš Mileto (apie 610-546 m. pr.m.e.) laikomas astronomijos pradininku. Garsiausiu, ko gero, Graikijos matematiku buvo Pitagoras iš Samos (569-475 m. pr.m.e.), kuris (bei jo mokiniai) tvirtino, kad viskas pasaulyje gali būti suvesta į skaičius. Pvz., jis pastebėjo, kad vibruojančios stygos sukuria harmonikas, kuriose stygų ilgiai yra sveikų skaičių santykiai ir taip labai prisidėjo prie matematinės muzikos teorijos. Pitagoriečiai atrado ir iracionalius skaičius (tokius, kaip ), tačiau atsisakė juos pripažinti, nes tikėjo visus skaičius esant sveikų skaičių trupmenomis. Platonas (427-347 m. pr.m.e.) pasižymėjo griežtumo matematiniuose įrodymuose idėja, kuri paveikė sistemingą Euklido "Elementų" dėstymo būdą. Aristotelio (384-322 m. pr.m.e.) indėlis matematikai yra logikos išvystymas. Jei Platonas tikėjo vieninga aksiomų sistema, tai Aristotelis buvo realistiškesnis ir pasisakė už atskirą aksiomų sistemą kiekvienam mokslui.

[ Be žemiau išvardintųjų, iš pitagoriečių dar verti paminėti Timėjus iš Locri ir Bryso iš Heraklėjos. Manoma, kad Bryso bandė rasti apskritimo plotą įbrėždamas ir apibrėždamas kvadratus, kol galiausiai gaudavo daugiakampius, tarp kurių buvo apskritimo plotas (ir imant jų plotų aritmetinį vidurkį). ]

Graikų matematikos istorija

Papildomai skaitykite Matematika Egipte ir Finikijoje

Graikų civilizacijos ištakos siekia 2800 m. pr.m.e., beveik didžiųjų Egipto piramidžių statybos laikmetį. Apie 775 m. pr.m.e. graikai hieroglifų rašmenis pakeitė finikiečių abėcėle, o tai palengvino abstrakčių sąvokų išraišką. Pradiniu laikotarpiu Egipto ir Babilono įtaka buvo labiausiai jaučiama buvo Milete, Jonijos mieste Mažojoje Azijoje, kur užgimė graikų filosofija, matematika ir mokslas.

Matematikos vystymosi požiūriu reiktų išskirti du laikotarpius:
a) klasikinis, 600-300 m. pr.m.e.
b) Aleksandrijos arba helenistinis, 300 m. pr.m.e. - 300 m.

Apie 350 m. pr.m.e. matematikos centras iš Atėnų persikėlė į Aleksandriją, Ptolemėjaus I, Aleksandro Didžiojo (358-323 m. pr.m.e.) makedoniečių generolo, pastatytą miestą; ir liko matematikos centru beveik tūkstantmečiui.

Deja, rankraščių originalai neišliko ir mūsų žinių apie graikų matematiką šaltiniai yra:
a) Bizantijos graikiški kodeksai (parašyti maždaug 500-1000 m. po originalių kūrinių sukūrimo);
b) graikų veikalų vertimai į arabų kalbą ir vėliau šių vertimai į lotynų kalbą.

Beje, graikai ir patys rašė matematikos istorijas:
a) Eudemas iš Pergamo (4 a. pr.m.e.), Aristotelio mokyklos narys parašė aritmetikos, istorijos ir astronomijos istorijas (neišliko);
b) Teofrastas (apie 372-287 m. pr.m.e.) parašė fizikos istoriją (neišliko);
c) Papusas (3a. pr.m.e. pabaiga) parašė "Matematikos rinkinį", įtraukęs veikalus nuo Euklido iki Ptolemėjaus (išlikęs); taip pat ir "Analizės lobius", graikiškų veikalų rinkinį (neišliko);
e) Proklas (410-485 m. pr.m.e.) parašė "Komentarus" (išliko);
f) įvairūs kitų autorių fragmentai.

Kadangi dažnai matematikai kartu buvo ir astronomai, kviečiame aplankyti ir graikų astronomų puslapį, esantį tarsi jo išplėtimu.

Pagrindinės graikų mokyklos

Pitagoras ir jo mokykla, žr. >>>>>

Elėjos mokyklą pietų Italijoje įkūrė Ksenofanas iš Kolofono, tačiau jos pagrindines kryptis nustatė antrasis vadovas Parmenidas.  Melisas buvo trečiasis ir paskutinis mokyklos vadovas. Jai įtaką darė Zenonas iš Elėjos (apie 495-430 m. pr.m.e.); kurį Aristotelis vadino dialektikos sukūrėju, „Fizikoje“ pateikęs keturis Zenono paradoksus, skatinusius loginį ir matematinį mąstytojų mąstymą. Jie buvo neišsprendžiami iki tikslių kontinuumo ir begalybės sąvokų išvystymo, ką 19 a. padarė Georgas Kantoras.

Demokritas iš Abderos (apie 460-370 m. pr.m.e.) ne tik buvo atomistinės pasaulėdaros sukūrėjas, bet ir parašė knygų apie skaičius, geometriją, liestines, iracionaliuosius skaičius ir kt., kurias žinom tik iš kitų autorių citatų. Jis buvo vienas pirmųjų, nustatęs, kad kūgio ar piramidės tūris lygus 1/3 cilindro arba prizmės su tokiu pat pagrindu tūriui. O iš Plutarcho „Prieš stoikus“ galima spėti, kad Demokritas aptarinėjo ir kieto kūno (pvz., kūgio) sudarymą iš labai plonų nuopiovų. Įdomi ir jo astronominė įžvalga, kad Paukščių takas yra žvaigždžių kongloreratas. Daugiau apie jį žr. >>>>>

Jonėnų mokykla >>>>>

Sofistai (apie 480-380 m. pr.m.e.) telkėsi (pitagoriečiai ir Jonijos mokslininkai) Atėnuose iškart po persų sutriuškinimo ir Spartos pergalės prieš Atėnus. Vienu metu jie buvo pagrindinis išsilavinimo šaltinis. Garsiausi buvo Protagoras,  Gorgijas,  Antifonas, Prodikas ir Thrasymachas. Joje dėmesys telktas abstrakčiam mąstymui, Visatos suvokimui pasitelkiama matematika. Tuo laikotarpiu bandyta išspręsti pagrindinius uždavinius: kubo tūrio padvigubinimą,  apskritimo kvadratūrą ir kampo trisekciją naudojantis tik liniuote ir skriestuvu.

Platoniškoji mokykla 387 m. pr.m.e. Atėnuose įkurta Platono (427-347 m. pr.m.e.) buvo mokslo ir filosofijos institucija. Platonas, nors ir nebuvo matematikas, drąsino užsiėmimus matematika. Jo vardu pavadinti kūnai, nes jis manė, kad pagrindiniai elementai (žemė, vanduo, oras ir ugnis) kartu su Visata atitinka tuos 5-is kūnus (Platono kūnai: tetrahedronas, kubas, dodekohedronas, oktahedronas ir ikosahedronas).

Prisijungę pitagoriečiai Teodoras iš Kirenės (465-398 m.pr.m.e.), įrodęs kvadratinių šaknų iš 3, 5, 7, ... 17 iracionalumą, ir Architas iš Tarentumo, kubo padvigubinimą išsprendęs rasdamas kūgio, žiedo ir cilindro susikirtimą bei naudodamas Hipijo kvadratriksę, darė jai įtaką. Beje, Architas parašė veikalą apie garso teoriją.

Joje išaugo Menaechnus ir jo brolis Dinostratas,  Theatetas (apie 415-369 m. pr.m.e.), kuris apibendrino Teodoro darbus apie iracionalius skaičius. Vėliau prie jos prisijungė Eudoksas iš Knido. Mokyklai priskiriama dviejų įrodymų būdų įvedimas - analizės ir suvedimas iki absurdo (reductio ad absurdum). Akademiją 529 m. uždarė Romos imperatorius Justinianas - kaip "pagonišką ir ydingų mokymų".

Aristotelio mokyklą, Licėjų, įkūrė Aristotelis (384-322 m. pr.m.e.), išvystęs fizikos, matematikos ir būties filosofiją. Jis apibrėžimą laikė svarbiu įrodymų elementu. Išskyrė potencialią ir tikrąją begalybę, sakydamas, kad tik pirmoji egzistuoja. Pagrindinius principus skirstė į aksiomas ir postulatus: a) aksiomos apėmė logikos taisykles; b) postulatai - teiginiai, kuriems nereikia įrodymo. Jų teisingumą įrodo iš jų išvedami teiginiai.

Jam priskiriamas logikos sukūrimas (kuri nekito iki pat 19 a.) silogizmų (dviejų teiginių ir išvados) pagalba:
a) priešybės dėsnis - teiginys negali būti ir teisingas, ir klaidingas;
b) kito pasirinkimo nebuvimo dėsnis - teiginys teisingas arba klaidingas.

Pvz., bet kuris graikas yra žmogus, o kiekvienas žmogus mirtingas, taigi graikas yra mirtingas.

Graikų matematikai ir filosofai

Zenonas iš Elėjos (490-425 m. pr.m.e.) išgarsėjo savo paradoksais. Jis parašė knygą, kurioje pateikė 40 paradoksų, kurie susiję su kontinuumo koncepcija. Iš jų 4-is perteikė Aristotelis: dichotomiją, Achilo ir vėžlio lenktynes, strėlės skrydį ir stadiono.

Kartą, eidamas iš užsiėmimų, būdamas garbaus amžiaus, suklupo ir nusilaužė pirštą. Jis tai suprato kaip likimo pirštą. Pastuksenęs ranka žemę, jis ištarė eilutę iš Timotėjaus „Niobės“:
Einu, einu aš, ko šauki?
Ir, sulaikęs kvėpavimą, mirė vietoje. Taip bent praneša Diogenas Laertietis. O pagal kitą versiją, Zenonas numarino save badu. Sužinojęs apie jo mirtį karalius Antigonas nuliūdęs šūktelėjo: „Kokio žiūrovo netekau!“

Hipokratas iš Chijo salos (470-410 m. pr.m.e.), pitagorietis matematikas ir astronomas, žinomas dėl „pusmėnulių“ (pusmėnulio formos figūrų, kurias sudaro du apskritimų su skirtingais spinduliais lankai) kvadratūros paskaičiavimo (tai buvo antroji "kreiva" figūra (po skritulio), kurios plotas buvo paskaičiuotas). Jis tai atrado bandydamas išspręsti skritulio kvadratūros problemą. Jo indėlis yra ir kubo padvigubinimo uždavinio sprendimui. Jis pateikė geometrinį kvadratinių lygčių sprendimus ir tikriausiai žinojo apie priartėjimo metodą.
Jaunystėje užsiėmė prekyba, tačiau jam neypatingai sekėsi, tad atvyko į Atėnus ir tada tapo žinomu matematiku. Jo svarbiausias nuopelnas yra parengtas geometrinių žinių sąvadas, pavadintus „Elementus“ - manoma, kad jie tapo Euklido „Elementų“ I ir II knygų pagrindu.
Išliko jo samprotavimai apie Paukščių tako ir kometų prigimtį. Jo ir jo mokinio Aischilo įsivaizdavimas apie kometas yra puikus mokslinės įžvalgos pavyzdys: „uodega nepriklauso kometai, tačiau ji kartais, klajodama erdvėje, ją gauna, nes mūsų žvilgsnio spindulys, atsispindėdamas nuo drėgmės, tįstančios paskui kometą, pasiekia Saulę. Kometa, skirtingai nuo kitų žvaigždžių, pasirodo labai ilgais laiko periodais, nes atsilieka nuo Saulės labai lėtai, tad kai ji atsiduria toje pat vietoje, būna atlikusi pilną apsisukimą“.
Plačiau apie jį skaitykite >>>>>

Teodoras iš Kirenės (apie 465-398 m. pr.m.e.) buvo Platono ir Teoteto mokytojas. Jis žinomas savo indėliu į iracionalių skaičių koncepciją. Jis įrodė, kad kvadratinės šaknys nuo 3 iki 17 (išskyrus 4, 9 ir 16; o atvejis su 2 jau buvo žinomas anksčiau) yra iracionalūs skaičiai (t.y. jų negalima išreikšti jokia trupmena). Jo iracionalių skaičių nagrinėjimus apibendrino jo mokinys Teotetas. Jo įtaka perteikta Euklido "Elementų" X ir XIII knygose. Jis minimas Platono dialoguose. Ten jam priskiriama teorema, dabar žinoma kaip „Teodoro spiralė“, susijusią su kvadratų, kurių plotas 3, 5, … 17 (kai nėra kvadratais), kraštinių nesulyginamumas.

Teotetas (apie 417-369 m. pr.m.e.) - graikų matematikas iš Atėnų, minimas Platono dialoge „Teotetas“. Jis žinomas nesulyginamų dydžių teorija, susidomėjęs ja iš savo mokytojo Teodoro iš Kirenės. Ji perteikta Euklido „Pradmenyse“ (VII ir X skyriai). Jis įrodė, kad jei kvadratinė šaknis iš skaičiaus nėra sveikas skaičius, tai jod reikšmė – iracionali. Tada jis suklasifikavo skaičių iracionalumo lygius. Taip pat įrodė, kad tėra tik 5 taisyklingi briaunainiai (kas irgi pateikta „Pradmenyse“), kai pitagoriečiai žinojo tik tris (be ikosaedro ir oktaedro). Tikėtina, kad mirė nuo žaizdų, gautų Atėnų mūšyje prieš Korintą.

Gorgijas (apie 485-380 m. pr.m.e.) – sofistas, žymus retorikas iš Sicilijos. Į Atėnus atvyko 427 m. pr.m.e., vėliau apvažinėjo visą Graikiją. 392 m. pr.m.e. Olimpijoje pasakė jį išgarsinusią kalbą, kviečiančią susivienyti prieš barbarus.

Trasimachas (apie 459-400 m. pr.m.e.) – sofistas ir retorikas iš Chalkedono, geriausiai žinomas iš Platono dialogo „Valstybė“.

Hipijas iš Elidės (apie 460-400 m. pr.m.e.) - graikų sofistas ir matematikas, Hegesidamo mokinys, Sokrato amžininkas, kai kurių Platono dialogų dalyvis, kuriuose jis pateikiamas kaip pasikėlęs ir arogantiškas. Už pamokas ėmė labai didelį atlygį. Pasižymėjo iškalba – galėjo be pasiruošimo kalbėti bet kuria tema. Dalyvavo diplomatinėje misijoje į Spartą.
Matematikoje jis prisimenamas savo kvadratrikse, kreive, kurios lygtis poliarinėse koordinatėse yra:
kurią naudojo kampo padalijimo į tris dalis ir skritulio kvadratūros uždavinių sprendimams. Vėliau Architas iš Tarentumo (428-350 m. pr.m.e.) ją panaudojo kubo padvigubinimo uždavinio sprendimui.
Jis mokė ne tik matematikos, bet ir poezijos, gramatikos, istorijos, politikos, archeologijos ir astronomijos. Vertino praktines žinias – ir dėvėjo tik savo pasigamintus rūbus. Tačiau iš tikro kiekvienoje srityje nesigilino į detales, o pasitenkindavo tik bendrosiomis žiniomis. Vis tik jo veikalas apie Homerą laikomas nuostabiu.

Menaechmas (380-320 m. pr.m.e.) nustatė kūgio pjūvius plokštuma, kurie sudaro elipsę, parabolę ir hiperbolę. Tai jam pavyko bandant padvigubinti kubą sprendžiant vidurkių proporcijų uždavinį. Galiausiai jis padvigubino kubą panaudodamas tuos kūgių pjūvius. Tegu duotiems a ir b ieškom dviejų vidurkių proporcijų tarp jų. Tada a/x = x/y = y/b. Iš čia gauname dvi lygtis x2 = ay ir xy = ab, kurių sprendimas atitinka parabolės x2 = ay ir hiperbolės xy = ab susikirtimo suradimą. Aišku, Menaechmas tą problemą sprendė ne taip – tuo metu dar nebuvo algebros įrankio.
Plačiau žr. >>>>>

Kitą sprendimo variantą, randant dviejų parabolių x2 = ay ir y2 = bx susikirtimą, nurodė Eutocijus iš Askalono (480-540 m. [mūsų eros! ]) komentaruose Archimedo „Apie sferą ir cilindrą".
Plačiau žr. >>>>>

Aristarchas iš Samos (310-230 m. pr.m.e.) savo veikale „Apie Saulės ir Mėnulio dydžius ir atstumus" pabandė nustatyti tas reikšmes pasinaudodamas trigonometrijos žiniomis. Be to, jis postulavo heliocentrinės Visatos modelį - už ką stoikas Kleantas apkaltino bedievybe.
Plačiau žr. >>>>>

Nikomedas (280-210 m. pr.m.e.) žinomas savo konchoidės kreive, kurios lygtis poliarinėse koordinatėse: r=b+a sec O

Šią kreivę jis naudojo kampo padalijimui į tris dalis ir kubo padvigubinimui.
Konchoidė gaunama duotos kreivės kiekvieno taško spindulį (iš centro O) pakeičiant pastoviu dydžiu. Visos konchoidės yra cisoidės su apskritimu su centru taške O, kaip viena iš kreivių. Limasonė yra konchoidė nuo apskritimo. Nikodemo konchoidės buvo tiesei (kaip duotajai kreivei).

Chrysipas iš Soli (280-206 m. pr.m.e.) daugiausia dėmesio skyrė teiginių logikai. Jis parengė 118 veikalus apie logiką – ir tame tarpe garsųjį „melagio paradoksą" („Ar teisingas teiginys „aš esu melagis"), įgavusį daugybę formų ir atvedusį prie Giodelio teoremos (1931 m.).

Eratostenas iš Kirenės (276-194 m. pr.m.e.), dirbęs bibliotekininku Aleksandrijoje, garsus savo sietu, algoritmu pirminiams skaičiams surasti. Veikale „Apie Žemės išmatavimą" jis nurodė apytikslį Žemės dydį (1% tikslumu). Pagrindu jis ėmė atstumą nuo Asuano iki Aleksandrijos ir dalį lanko, kurį nustatė skaičiuodamas šešėlių ilgių skirtumą vidurdienį tose vietovėse. Vėliau jis teigė, kad jūros yra susisiekiančios ir kad Afriką galima apiplaukti ir "Indiją galima pasiekti plaukiant į vakarus nuo Ispanijos".
Taip pat paskaoičiavo metų trukmę (365,25) ir siūlė kas 4 m. įvesti keliamuosius metus. Be to sudarė vaizdingą, padabintą mitiniais personažais, 44 žvaigždynų katalogą ir pateikė 475 žvaigždžių sąrašą.

Apolonijus iš Pergo (262-190 m. pr.m.e.) buvo vadintas „Didžiuoju geometru" ir parašė 8-ias "Kūgių" knygas. Pirmosiose 4-e buvo nuo Euklido žinomos teoremos su keliomis naujomis, o likusios 4-ios knygos visiškai originalios. Skaitykime issamiau >>>>>

Dionysodoras ir Kaunaso (250-190 m. pr.m.e.) išsprendė kubinę lygtį panaudodamas parabolės ir hiperbolės susikirtimą. Veikale „Apie torą" jis pateikė toro tūrio formulę.

Zenodoras (200-140 m. pr.m.e.) darbavosi su įvairiais geometrinio optimizavimo uždaviniais, Jis įrodė, kad taisyklingas n-kampis turi didžiausią plotą iš visų n-kampių, turinčių tą patį perimetrą., kad skritulio plotas yra didžiausias lyginant su bet kokiais taisyklingais daugiakampiais, turinčiais perimetrą, lygų apskritimo ilgiui, kad rutulio tūris yra didžiausia lyginant su bet kuriuo kūnu, turinčiu tokį pat paviršiaus plotą.

Hiparchas iš Rodo (190-120 m. pr.m.e.) sudarė stygų lenteles (kažką panašaus į šiuolaikines trigonometrines lenteles). Jis įvedė apskritimo dalijimą į 360 laipsnių. Daugiau >>>>

Geminus (10 m. pr.m.e. – 60 m.) įrodė, kad heliksė, apskritimas ir tiesės atkarpa tėra vienintelės kreivės, kurių bet kuri dalis yra sutampa su bet kuria to paties ilgio dalimi.

Heronas iš Aleksandrijos (10-75 m.) išvedė trikampio ploto formulę:
s (s-a) (s-b) (s-c), kur s yra trikampio perimetro pusė [ s = (a+b+c)/2 ]. Taipogi jis buvo geras mechanikas, sukūręs daugelį praktinio ir teorinio pobūdžio veikalų mechanikos temomis. Iš jo "Pneumatikos" kilo hidraulikos mokslas. Daug dirbo tobulindamas įvairias mašinas ir automatus, imituojančius žmogaus veiksmus. Jis kūrė vyną pilstančias, gėtimus maišančius, geriančias ir dainuojančias skulptūras (veikė suspaustu oru). Taip pat sugalvojo vėjo malūno varomus vamzdelinius vargonus, garinį šildytuvą, vėliau pritaikytą romėnų pirtyse, savaime knatą nusikerpančią lempą ir žvakidę, kurioje žvakės liepsnos šiluma sudarydamo jėgą, verčiančią suktis virš jos pakabintas mažas figūrėles. Daugiau apie tai žr. >>>>>

Nikomachas iš Gerasos (apie 60-120) – graikų neopitagorietis iš Sirijos, daug rašęs apie mistines skaičių savybes, tačiau geriausiai žinomas veikalais „Įvadu į aritmetiką“ ir „Harmonikų vadovas“. Jo (neišlikusį) „Pitagoro gyvenimą“ vėliau naudojo Porfirijus ir Jamblichas. Nikomachas matematizavo Platono filosofiją, sujungdamas „aukščiausiąja gėrio idėją“ (išdėstytą „Valstybėje“) su savotišką „aukštąja aritmetika“, susijusia su dieviškais skaičiais, užtikrinančiais visos esaties tvarką.
Žinoma Nikomacho teorema, kad n pirmųjų kubų (1³, 2³, 3³, ...) suma lygi n(n+1)/2 nelyginių skaičių sumai (kuri tuo pačiu lygi (n(n+1)/2)²).

Menelėjus iš Aleksandrijos (70-130 m. pr.m.e.) pirmasis ėmėsi analizuoti sferinius trikampius. Jis įrodė teoremas apie juos, analogiškas teoremoms apie trikampius plokštumoje.
Daugiau apie jį >>>>>

Klaudijus Ptolemėjus (85-165 m.) parašė „Almagestą" iš 13-os knygų, kur propagavo Žemę, kaip pasaulio centrą. Tai to meto žinių apie astronomiją rinkinys. Jis paskaičiavo apytikslę pi reikšmę, lygią 3 * 17/120 (3,14167), panaudojęs įbrėžtą 360-kampį, 3, lygią 60^o stygai (1,73205)

Diofantas iš Aleksandrijos (200-284 m.) vadinamas „Algebros tėvu". Jo 13-os knygų „Arithmatika" pateikė skaitinius algebrinių lygčių sprendimus. Jo laikmetyje dar nebuvo nulio ir neigiamų skaičių sąvokos, o ir iracionalių skaičių samprata dar nebuvo iki galo priimta. Tad jis pripažino tik teigiamus racionalių skaičių sprendimus, o kitus atmesdavo kaip beprasmius (apie Diofanto lygtis taip pat žr. >>>>). Jis algebriškai sprendė tiesines ir kvadratines lygtis. Taip pat aptarinėjo problemas, kaip rasti x, kai polinomų lygtys yra kvadratai ar kubai, pvz., kai x = 3 / 2, tai 4x + 2 yra kubas, o 2x + 1 yra kvadratas. Taip žr. >>>>

Papusas iš Aleksandrijos (Pappus, apie 290-350 m.) – vienas paskutinių svarbesniųjų graikų, žinomas Papuso teorema (kad A''B''C'' yra tiesė; pateikiama 7-e „Synagogue" knygoje).

Apie jo gyvenimą žinoma labai mažai. Jis parašė 8 knygų apimties „Synagogue" (Rinkinys), kurio išliko tik keli fragmentai graikų ir arabų kalbomis. Jame pateikė savo laikmečio matematikos, ypač geometrijos, žinias įvairiose matematikos srityse. Iš kitų jo veikalų žinomi komentarai Ptolemėjaus „Almagestui", komentarai Diodoro Siciliečio „Analemai" ir komentarai Euklido „Elementams".

Rašydamas apie bites Papusas išgiria šešiakampę jų korių formą. Specializavosi didelių skaičių problematikoje bei konstravo pusapskritimiuose.
Skaitykite išsamiau apie Papusą...

Hipatija ( Hypatia , apie 360-418) – Theono iš Aleksandrijos duktė, pirmoji iškili matematikė, po kurios matematika Aleksandrijoje pasibaigė. Buvo pagonė. Apie 400 m. ji tapo Aleksandrijos neoplatonizmo mokyklos vadove. Parašė Platono, Aristotelio ir kitų graikų filosofų, astronomų (Ptolemėjaus), matematikų (Diofanto, Apolonijaus, Euklido) veikalų komentarų. Iki mūsų dienų jos darbų nėra išlikę. Dalyvavo politikoje ir turėjo įtaką prefektui Orestui, todėl nuolat kildavo trintis su vyskupu Kirilu (vėliau kanonizuotu), kurio pasekėjai ją užpuolė ir nužudė. Kitą jos mirties versiją pateikė Sokratas Scholastas.
Daugiau apie Hipatiją >>>>>

Melisas iš Samos (5 a.) – trečiasis ir paskutinis Elėjos mokyklos atstovas. Apie jo gyvenimą težinoma, kad jis kurį laiką buvo Samos laivyno vadu ir laimėjo mūšį prieš Sofoklio vadovaujamą Atėnų laivyną, tačiau vėliau Periklis sutriuškino Melisą. Buvo susitikęs su Heraklitu. Mokė, kad būtis begalinė laike (laikas neegzistuoja); Parmenido būtį tapatino su Visata (tad, matyt, pirmasis išsakė begalinės Visatos idėją). Iš jo „Apie prigimtį arba esatį“ teliko tik fragmentai Simplicijaus komentaruose Aristotelio „Fizikai“ bei Pseudo-Aristotelio traktate „Apie Melisą, Ksenofaną, Gorgijų“.

Vėliau dar buvo Izidoras iš Aleksandrijos (5 a. pabaiga), buvęs filosofo, „paskutiniojo neoplatoniko" Damaskijaus iš Damasko (apie 460-538) mokytoju. Simplicijus iš Kilikijos (apie 490-560) rašė komentarus Aristotelio veikalams.

529 m. imperatoriui Justinianui uždarius pagoniškąją Atėnų mokyklą, graikų kultūros centras persikėlė į Konstantinopolį, kur gyveno matematikai ir architektai Izidoras iš Mileto bei Antemijus iš Tralų (apie 474-558). Manoma, kad būtent Izidoras Euklido „Elementus" papildė vadinamąja 15-a knyga. Jis taip pat surinko ir paskelbė Eutocijaus veikalus. Antemijus aprašė elipsės stygų sudarymą, parašė knygą apie kūgius, veikalą „Apie deginančius stiklus".

Galiausiai, 5 a. (po Kristaus) graikų matematika užgeso kaip sudegusi žvakė... Priežastys tam gali būti tokios:

• visada tebuvo tik keletas, galėjusių leisti užsiimti tik matematikos reikalais;
• mokymo tradicijos buvo išsklaidytos dėl politinių neramumų rytinėje Viduržemio jūros dalyje;
• didelę įtaką padarė Roma;
• arabų hegemonija - Aleksandrijos ir mokslo židinio sunaikinimas;
• krikščionių netolerancija.

Kai kurie kiti pažymėtini matematikai aprašomi atskirai.

 

Talis iš Mileto  (apie 624 - apie 547 m. pr.m.e.)

Tai pirmasis iš žinomų graikų filosofų, mokslininkų ir matematikų (6 a. pr.m.e.). Tuo metu dar nebuvo vartojamas žodis "filosofas" (išminties mylėtojas), tačiau Talis yra minimas tarp 7-ių senovės išminčių (sophoi - apie Soloną su Taliu bei išminčius skaitykite >>>>). Talis iš Artimųjų Rytų gautas matematines žinias pritaikė praktiniams tikslams, pvz., nustatyti atstumui iki laivo ar piramidžių aukštį. Proklas, paskutinis iš didžiųjų graikų filosofų, rašė:
"[Talis] pirmiausia nuvyko į Egiptą ir tokiu būdu tą mokslą [geometriją] atnešė į Graikiją. Jis atrado daug teiginių ir išmokė savo pasekėjus..."

Diogenas Laertietis (2 a.) cituoja Hieronymą, Aristotelio mokinį (panašiai rašė ir Plinijus bei Plutarchas):
"Talis mokėjo matuoti piramides stebėdamas jų šešėlio ilgį tuo momentu, kai mūsų šešėlis tapdavo lygus mūsų ūgiui".

Taliui priskiriamos 5 teoremos geometrijoje:
a) Apskritimas dalijamas pusiau bet kuriuo diametru;
b) lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs;
c) kampai tarp dviejų persikertančių tiesių yra lygūs;
d) Du trikampiai yra lygūs, jei lygūs du kampai ir viena kraštinė;
e) pusapskritimio kampas yra status.

Taip pat pasakojama, kad jis nuspėjo 585 m. pr.m.e. gegužės 28 d. Saulės užtemimą (tačiau jis visai nežinojo to reiškinio pasekmės, kaip ir Anaksimandras bei jo pasekėjai). Apie tai Herodotas rašė: "... diena staiga virto naktimi. Tai nuspėjo Talis iš Mileto, perspėjęs joniečius apie tai, tiksliai nuspėdamas metus, kada jis įvyks. Medai ir lidai, stebėję pasikeitimą, liovėsi kovęsi ir vienodai siekė taikos susitarimo".

Talis mokė nustatyti laivų kursą pagal Šiaurinę. Jis parengė parapegma, tam tikrą kalendorių, kuriame sužymėjo ekvinokcijas ir solsticijas, Mėnulio fazes, kai kurių žvaigždžių patekėjimus ir nusileidimus. Pranašavo orus.

Daugiau apie Talį skaitykite >>>>>

Eutocijus iš Askalono, Palestina   (apie 480-apie 540 m. pr.m.e.)

Jis parašė komentarus trim Archimedo veikalams, o taip pat komentarus pirmoms 4-ioms Apolonijaus "Kūgių" knygoms. Astronomijos srityje jis parašė įvadą pirmai Almagest knygai. Jo dėka išliko svarbūs darbai:
a) kubo padvigubinimo ir dviejų vidurkių proporcijų sprendimai: Platono, Herono, Filono, Apolonijaus,  Dioklo, Sporus, Papuso,  Menaechmus,  Archytas,  Eratosteno,  Nikomedo;
b) Eutocijaus surastas fragmentas apie dingusį sprendimą, minėtą Archimedo veikale "Apie sferą ir cilindrą", susijusį su papildoma problema sprendžiant kubinę lygtį (a-x)x² = bx² kūgių priemonėmis.

Askalonas minimas Biblijoje ir jame Erodas buvo pastatęs puikių visuomeninių pastatų. Iš čia Eutocijus vyko į Aleksandriją, kur buvo Amonijaus (buvusio Proklo mokiniu) mokinys.

Pitagoras iš Samos

Tai pat skaitykite Pitagoras ir jo mokykla

Gimė apie 569 m. pr.m.e. Samos saloje, Jonijoje, mirė apie 475 m. pr.m.e. Jo tėvas buvo iš Tyro kilęs pirklys Mnesarchus, o motina samosietė Pythais. Manoma, kad jis turėjo du (pagal kai kuriuos šaltinius, tris) brolius. Likęs pasakojimas, kad bado metu jo tėvas atvežė grūdų į Samos ir taip užsitarnavo gyventojų pagarbą. Vaikystėje jaunuolis daug keliavo su tėvu ir mokėsi pas chaldėjus ir Sirijos išminčius. Filosofas Pherekydes laikomas jo mokytoju, o dar du, Talis ir jo mokinys Anaksimandras, gyvenę Miletus, padarė įtaką ir sudomino matematika ir astronomija.

Jų patartas, apie 535 m. pr.m.e. Pitagoras nuvyko į Egiptą. Tai įvyko praėjus keliems metams tiranui Polikratui paėmus Samos valdymą. Manoma juodu draugavus ir Pitagorą vykus su Polikrato laišku. Yra užuominų, kad jis lankė daugelį šventyklų ir diskutavo su jų žyniais. Tad nesunku nustatyti daugelio dalykų sąryšį su Egiptu: slaptumas, atsisakymas valgyti pupas ir dėvėti drabužius iš gyvūnų odos ir kt.

525 m. pr.m.e. Persijos karalius Kambizas II užgrobė Egiptą. Polikratas prisidėjo prie persų. Pitagoras buvo suimtas ir įkalintas Babilone. Jamblichas (3 a.) apie tai rašo: "ten jis buvo supažindintas su Magoi... ir jų slaptomis apeigomis ir mistinį dievų garbinimą. Taip pat jis pasiekė tobulumą aritmetikoje ir muzikoje ir kituose matematiniuose moksluose".

Apie 520 m. pr.m.e. Pitagoras grįžo į Samos, kai 522 m.pr.m.e. Polikratas buvo nužudytas, o Cambyses miręs. Darijus paėmė Samoso valdžią. Netrukus Pitagorus išvyko į Kretą susipažinti su jos įstatymų sistema. Grįžęs į Samosą, įsteigė mokyklą.

Apie 518 m.pr.m.e. jis išvyko į pietų Italiją ir Krotone (šiandieninėje Krotonėje) įsteigė mokyklą, sutraukusią daug pasekėjų (tiek vyrų, tiek moterų). Griežtų taisyklių valdoma bendruomenė vadinta "mathematikoi". Jos nariai neturėjo asmeninių turtų ir buvo vegetarai. Pagrindiniai jo mokymo aspektai:
1) giliausiame lygyje realybės prigimtis matematikoje;
2) filosofija naudojama dvasiniam apsivalymui;
3) sielos gali pakilti ir susijungti su dieviškuoju pradu;
4) kai kurie simboliai turi mistinę prasmę;
5) visi bendruomenės nariai turi laikytis lojalumo ir slaptumo principų.

Pitagoras ir jo pasekėjai manė, kad viską galima suvesti iki skaičių Pitagorui skaičiai buvo suasmeninti: „Kiekvienas skaičius turi savo asmenybę – vyrišką ar moterišką, tobulą ar netobulą, gražią ar bjaurią... 10 buvo geriausias skaičius, jis talpino pirmus keturis: 1, 2, 3, 4 (1+2+3+4=10“.  Ši teorija kilo iš tyrinėjimų muzikos, matematikos ir astronomijos srityse. Pvz., jis nustatė, kad stygų vibracijų harmonikas galima išreikšti sveikų skaičių proporcijomis.

Jis įvedė lyginių ir nelyginių skaičių, trikampių skaičių, tobulų skaičių ir kitas sąvokas. Jam (ar pitagoriečiams) priskiriama:
1) Trikampio kampų suma lygi dviem statiesiems kampams.
2) Pitagoro teorema – stačiojo trikampio kraštinių kvadratų suma lygi įstrižainės kvadratui. Nors teiginys buvo žinomas jau babiloniečiams ir senovės kinams, tačiau, atrodo, tik jis pateikė įrodymą jam.
3) Geometrinės algebros uždaviniai, pvz. lygčių a-x=x² sprendimas geometrijos priemonėmis.
4) Iracionalių skaičių atradimas, kas prieštaravo jų filosofijai, kad visi daiktai yra skaičiai (nes skaičiais laikė tik trupmenas).
5) Penki taisyklingi kietieji kūnai.
6) Žemė yra sfera Visatos centre, Mėnulio orbita pasvirusi pusiaujo atžvilgiu, o Aušrinė ir Vakarė yra ta pati planeta.

Tačiau, visų pirma, Pitagoras buvo filosofas ir laikė, kad pasaulio struktūros dinamika priklauso nuo priešybių sąveikos; kad siela yra savaime judantis skaičius, apsivalantis per nuoseklias reinkarnacijas; kad visi objektai sudaryti iš formų, o ne materialios substancijos. Vėliau pitagoriečiai smegenis skyrė sielos buveine...

513 m. pr.m.e. Pitagoras nuvyko į Deloso salą aplankyti mirštančio Pherekydo ir ten išbuvo kelis mėnesius. 510 m. Krotoną užpuolė kaimyninis Sybaris, 508 m. pr.m.e. bendruomenę užsipuolė vietinis didikas Kylonas. Pitagoras pabėgo į Metapontiumą, kur mirė. Apie 460 m. pr.m.e. bendruomenė buvo grubiai persekiojama. Išsigelbėję pitagoriečiai pasitraukė į Tėbus ir kitas vietas.

Pitagoriečių mokyklos tyrinėjimų sritys:
Filosofija;
Proporcijų tyrimai;
Plokštumos ir kieto kūno geometrija;
Skaičių teorija;
Įrodymo teorija;
Neišmatuojamų buvimo nustatymas.

Architas iš Tarentumo

Architas gimė apie 428 m. pr.m.e. Tarentume (dabar Taranto miestas pietų Italijoje), mirė apie 350 m. pr.m.e. Pietų Italija (Magna Graecia) 5-e a. pr.m.e. buvo valdoma graikų. Kadaise joje įtaką turėję pitagoriečiai buvo užsipulti ir išvaryti, - ir jų įtakoje liko tik Tarentumas. Architas vadovavo pitagoriečiams ir bandė suvienyti to krašto graikų miestus. Jis vadovavo Tarentumo pajėgoms ištisus 7 m., nors pagal įstatymą tebuvo leidžiama vadovauti tik 1 m.

Platonas dažnokai lankėsi Sicilijoje ir trečiosios jo kelionės ten metu, 361 m. pr.m.e. buvo suimtas Dioniso II. Platonas parašė Architui, kuris (kartu su Dionisu) pasiuntė laivą jį gelbėti.

Architas buvo Filolauso mokinys ir buvo tvirtas Pitagoro filosofijos šalininkas, laikydamasis nuostatos, kad matematika yra priemonė visiems dalykams pažinti. Jis tvirtino, kad matematiką sudaro 4 šakos: geometrija, aritmetika, astronomija ir muzika. Vienas jo veikalų buvo "Apie matematiką", nors kai kurie teigia, kad jis vadino "Apie harmonikas". Iškart pro pratarmės joje aptariama tono aukštumą, dažnumą ir garsų teorija. Ši knyga buvo Platono rašinių apie garsų teoriją pagrindas. nors kai kurie teigia, kad jis vadino "Apie harmonikas". Iškart pro pratarmės joje aptariama tono aukštumą, dažnumą ir garsų teorija. Ši knyga buvo Platono rašinių apie garsų teoriją pagrindas.

Architas tyrinėjo harmoninį vidurkį ir jam suteikė tą pavadinimą. Jis į tai gilinosi, nes susidomėjo kubo padvigubinimo uždaviniu (kaip nubrėžti dvigubai didesnio tūrio kubo kraštinę). Hipokratas suvedė tą uždavinį į dviejų vidurkių proporcijų (a/x = x/b) suradimą. Architas uždavinį išsprendė geometrinėmis priemonėmis (aišku, naudodamasis ne vien tik liniuote ir skriestuvu). Viena jo inovacijų sprendžiant šį uždavinį buvo judesio panaudojimas. Jo metodas naudojo pusapskritimį, besisukantį trimatėje erdvėje ir kreivę, kusi susidaro jam kertant kitą trimatį paviršių. Apie Archito sprendimą žinome iš Eutocijaus iš Askalono raštų, kuriuose jis cituoja Eudemo iš Rodo "Geometrijos istoriją".

Kitas įdomus matematinis Archito atradimas yra tai, kad tarp dviejų skaičių (n+1) / n gali nebūti geometrinio vidurkio. Jo įrodymas artimas Euklido įrodymui, pateiktam po daugelio metų ir jame minimos teoremos, kurios vėliau pasirodys Euklido "Elementų" VII knygoje. Labai tikėtina, kad Euklidas VIII knygai informaciją pasiskolino iš Archito.

Architas kartais vadinamas mechanikos pradininku, nes, kaip tvirtinama, sukūrė du mechaninius prietaisus, kurių vienas buvo mechaninis paukštis, o kitas - barškutis vaikams, kuris, anot Aristotelio, buvo naudingas, nes buvo duodamas "užimti vaikams ir taip apsaugant daiktų namuose laužymą". Jam priskiriamas skriemulio išradimas ir teorinis pagrindimas. Jis sukūrė įvairius mechaninius prietaisus kreivių brėžimui bei uždavinių sprendimui. Juos kritikavo Platonas, nes laikė, kad jie daro žalą geometrijai, nes nuvertina ją kaip intelektualinę veiklą, tad vėlesni geometrai apsiribojo tik liniuote ir skriestuvu. Kaip matome, jo matematikos taikymai buvo visiškai priešingi Platono grynosios matematikos koncepcijai. Tas jų kitoniškumas įkvėpė lenkų poetą C. K. Norwid'ą (1821-83) eilėraščiui.

Architas domėjosi astronomija. Jis mokė, kad žemė yra sfera apsisukanti apie savo ašį per 24 val. Simplicijus "Fizikoje" išdėsto Archito požiūrį, kad visata yra begalinė:
"Jei būčiau prie kieto dangaus skliauto krašto, ar galėčiau į išorę iškišti ranką ar lazdelę? Tarti, kad negalėčiau, yra absurdas; ir jei aš galėčiau, tai išorėje būtų arba kūnas, arba erdvė (nėra skirtumo, kas yra, kaip pamatysime vėliau). Tad mes vėl taip pat galime pasiekti naują kraštą ir kiekvienąkart užduodami tą patį klausimą; ir jei visada bus vieta, į kurią galiu iškišti savo lazdelę, tai aiškiai parodo, kad tolti galim be galo....kas bebūtų, kūnas ar erdvė".

Politikos ir etikos filosofiją Architas irgi grindžia matematika. Jis rašė ir apie mokymąsi: "Kad sužinotų apie nežinomus dalykus, žmogus turi arba išmokti iš kitų, arba atrasti pats.".

Architos paskendo laivui sudužus netoli Tarentumo ir jo kūnas buvo išmestas į pakrantę.

Antifonas Sofistas

Gimė 480 m. pr.m.e. Atėnuose, mirė 411 m. pr.m.e. Atėnuose. Sokrato amžininkas buvo oratorius. Išliko daug jo pasakytų kalbų ir parašė nemažai filosofinių veikalų, kurių išliko tik maži fragmentai. Tarp jų „Apie tiesą“, „Apie santarvę", „Valstybės veikėjas“, „Sapnų išaiškinimas“. Veikale „Apie tiesą“ buvo palaikomas Parmenido požiūris, kad egzistuoja vienintelė tikrovė, o regimas daiktų pasaulis nėra tikras. Tas pačias idėjas paradoksų pagalba palaikė ir Zenonas iš Elea. Veikale „Apie santarvę“ gynė valdžią kaip saugumo garantą nuo anarchijos ir rekomendavo savęs ribojimo principus tiek bendruomenei, tiek atskiram asmeniui.

Jis įsitraukė į anti-demokratinį sukilimą, kuris žlugo – ir buvo nubaustas mirti. Tukididas net mano jį buvus jo vadovu ir net jo kalbos, "geriausios iš kada nors [pasakytų] teisme" nepadėjo išsigelbėti.

Antifonas prisidėjo ir prie matematikos vystymo, pabandęs išspręsti skritulio kvadratūros problemą. Jis pasiūlė priartėjimo metodą [vėliau išvystytą Eudokso], kai įbrėžto daugiakampio kraštinės dvigubinamos tol, kol skirtumas tampa nežymus. Šiame kontekste jį pamini Aristotelis: „geometro reikalas yra paneigti kvadratūrą segmentų priemonėmis, bet ne jo reikalas paneigti Antifono [metodą]“. Šios citatos „segmentai“ yra nuoroda į Hipokrato „mėnulius“.

Tačiau Simplicijus nesuprato, ką darė Antifonas, - manydamas, kad sprendė skritulio kvadratūros uždavinį:
„atsitiks, kad turėsime įbrėžtą daugiakampį, kurio kraštinės dėl savo mažumo sutaps su apskritimu. O mokėdami nubrėžti kvadratą, [plotu] lygų bet kuriam daugiakampiui,... galėsime nubrėžti kvadratą, [plotu] lygų skrituliui“.

Eudoksas iš Knido (408 – 355 m. pr.m.e)

Taip pat apie Eudoksą skaitykite >>>>>

Eudoksas gimė 408 m.pr.e. Knide (Resadiye pusiasalyje, Mažojoje Azijoje, dabartinės Turkijos teritorijoje). Tėvas buvo Aischinas. Žinoma, kad keliavo į Tarentumą (dabartinėje Italijoje), kur mokėsi pas Archytą, buvusiu Pitagoro pasekėju. Archytą domino kubo padvigubinimo uždavinys, tad tikėtina, kad tai paskatino ir Eudokso susidomėjimą juo. Kitos sritys buvo skaičių teorija bei muzikos teorija. Eudoksas apsilankė ir Sicilijoje, kur studijavo mediciną pas Filistoną, o vėliau, kartu su gydytoju Theomedonu, aplankė Atėnus, kur praleido du mėnesius ir galėjo klausyti Platono ir kitų Akademijos mokytojų paskaitų. Vėliau metus gyveno Egipte, kur studijavo astronomiją pas Heliopolio žynius. Iš čia vyko į Cyzicus, Mažosios Azijos šiaurės vakaruose pietiniame Marmuro jūros krante. Čia įsteigė mokyklą, tapusią labai populiaria.

Apie 368 m. pr.m.e. Eudoksas, kartu su mokiniais, antrąkart aplankė Atėnus. Tada Eudoksas grįžo į gimtąjį Knidą ir buvo skatinamas įsijungti į įstatymų kūrimą. Tačiau jis tęsė mokslinę veiklą, Knide pastatė observatoriją ir žinoma, kad iš ten stenėjo Canopus žvaigždę. Astronominiai stebėjimai buvo dviejų dingusių knygų pagrindas: "Veidrodis" ir "Phaenomena". Hiparchas teigia, kad juose aprašomi žvaigždynų patekėjimai ir nusileidimai.

Eudoksas prisidėjo prie proporcijų teorijos vystymo. Didžiausiu laikmečio sunkumu buvo tai, kad kai kurie ilgiai buvo nesulyginami. Pvz., x ir y palyginimas, randant ilgį t tokį, kai sveikiems m ir n x = mt ir y = nt, nebuvo surandamas, kai atkarpos buvo 1 ir 2 kv.šaknis (kaip įrodė Pitagoras). Eudokso išvystyta teorija pateikiama Euklido "Elementų" 5 knygoje. 4 apibrėžimas vadinamas Eudokso aksioma:
"Sakoma, kad dydžiai turi palyginamą tarpusavio santykį, kai bet kurio daugiklis gali viršyti kitą".
Čia Eudoksas tvirtina, kad atkarpa ir sritis neturi proporcijos santykio. Tačiau 1 ir 2 kv. šaknies ilgio atkarpos gali būti palyginamos, nes 1 * v2 > 1 ir 2 * 1 > v2.

Eudoksas nurodo ir tai, kada dvi proporcijos yra lygios. Naudojant šiuolaikinę notaciją, jo teiginį (Elementų 5 kn. 5 apibrėžimas) galima pateikti taip (kas atitinka Vejerštraso lygių skaičių apibrėžimą):
a:b ir c:d yra lygūs, jei bet kuriems sveikiems m ir n:
1) jei ma < nb, tada mc < nd;
2) jei ma = nb, tada mc = nd;
3) jei ma > nb, tada mc > nd.

Kitas svarbus Eudokso indėlis į matematiką buvo jo ankstyvas darbas apie integravimą remiantis priartėjimo metodu. Tai savaime išsivystė iš jo proporcijų teorijos, nes dabar jis galėjo palyginti iracionalius skaičius. Be to, jis rėmėsi ankstesnėmis Antifono idėjomis apie skritulio aproksimavimą įbrėžtais taisyklingais daugiakampiais didinant briaunų skaičių. Naudodamas juos jis davė griežtus įrodymus teiginiams (pirmąkart išsakytiems Demokrito), kad:
a) piramidės tūris yra lygus trečdaliui prizmės, su tokiu pat pagrindu ir aukščiu, tūrio;
b) kūgio tūris lygus trečdaliui cilindro , su tokiu pat pagrindu ir aukščiu, tūrio.

Žinome, kad Eudoksas nagrinėjo kubo padvigubinimo problemą. Erasfenas, parašęs uždavinio sprendimo istoriją, teigė, kad Eudoksas jį išsprendė kreivių pagalba. Tannery spėjo, kad Eudoksas naudojo kampyle kreivę.

Privalome aptarti ir jo planetarinę teoriją, išdėstytą neišlikusiame, tačiau, ko gero, jo garsiausiame traktate "Apie greičius". Savo sistemą jis sukūrė remdamasis pitagoriečių įsitikinimu, kad sfera yra tobuliausia forma. Jo homocentrinė sistema susideda iš besisukančių sferų; kiekvienai jų besisukanti apie ašį, einančią per Žemės centrą. Toji ašis nėra fiksuota ir, daugeliui sferų, pati besisukanti, nes apibrėžta prie kitos sferos pritvirtintais taškais.

Diagramoje turime dvi sferas S₁ ir S_č. Pirmosios ašis XY yra sferos S₂ skersmuo. S₂ besisukant apie ašį AB, ašis XY taipogi sukasi. Jei abi sferos sukasi pastoviu, tačiau priešingos krypties, kampiniu greičiu, tada taškas P, esantis ant S₁ pusiaujo, brėžia kreivę, panašią į aštuoniukę, kuri vadinama hipopede (kas reiškia "žirgo pančiai").

Eudoksas laikė, kad planeta keliauja panašiai taip, kaip taškas P. Jis įvedė trečią sferą, kad atitiktų pagrindinį planetos judėjimą žvaigždžių atžvilgiu, o judesys hipopede sudarydavo stebimą "atbulinį" planetos judėjimą. Tokia trijų sferų sistema buvo įdėta į ketvirtą sferą, kurioje sukosi žvaigždės. Ši Eudokso sistema, susidedanti iš 27 sferų, yra aprašyta Aristotelio "Metafizikoje". Simplicijus, rašydamas savo komentarus Aristotelio veikalui apie 540 m., irgi aprašo Eudokso sferas.

Bet ar pats Eudoksas tikėjo tų sferų realiu egzistavimu ar jas įvedė vien kaip paskaičiavimų modelį? Spėjimą, kad tai galėjo būti vien geometrinė konstrukcija, sustiprina tai, kad nežinoma apie jo pastabas dėl galimos sferų substancijos nei jų persidengimo būdo.

Taip pat Eudoksas parašė veikalą apie geografiją "Turas po žemę", kuri neišliko, tačiau įvairiuose šaltiniuose yra apie 100 citatų iš jos. Ją sudarė 7 knygos, kuriose aprašomos žemėje gyvenančios tautos, jų politinės sistemos ir istorija. Ypač autoritetingai rašė apie Egiptą ir religiją, tad aišku, kad nemažai sužinojo gyvendamas ten. 7-oje knygoje daug rašoma apie pitagoriečius Italijoje, su kuo irgi, matyt, turėjo būti susipažinęs.

Dinostratas (apie 390-320 m. pr.m.e.)

Dinostratą mini Proklas: "Amiklas iš Heraklėjos, vienas Platono giminaičių, ir Menaechmas, Eudokso, studijavusio su Platonu, mokinys ir jo brolis Dinostratas ištobulino daug geometrijos dalykų".

Įprasta tvirtinti, kad Dinostratas skritulio kvadratūros sprendimui naudojo Hipijaus išrastą kvadratriksę (quadratrix). Papusas sako: "Skritulio kvadratūrai Dinostratas, Nikomedas ir kiti vėlesni matematikai naudojo specialią kreivę, savo pavadinimą įgavusią nuo tos savybės ir todėl jų buvo vadinta kvadratą formuojančia"

Iš šios citatos atrodo, kad kreivę atrado Hipijas, tačiau Dinostratas buvo pirmasis, panaudojęs ją kvadrato, lygaus duotam skrituliui, suradimui. Proklas, teigiantis, kad cituoja Eudemą iš Pergamo, rašė:
"Nikomedas į tris dalis dalijo bet kurį statų kampą spiralinėmis kreivėmis, kurių atradimas ir savybės jam priklauso ir kurių ypatingas charakteristikas buvo nustatęs. Kiti tą patį darė naudodami Hipijaus ir Nikomedo kvadratrisę".

Papusas nurodo, kaip kvadratriksė buvo naudojama skritulio kvadratūrai surasti. Kreivės brėžimą aprašo Hipijas. Quadratrix kerta kraštinę AD taške G ir lankas BED / AB = AB / AG   tad apskritimo ilgis yra išreiškiamas tiesių linijų ilgiais. Tai leidžia nubrėžti kvadratą, kurio plotas lygus duoto skritulio plotui.

Papusas sako, kad Sporas kritikavo šį metodą. Jis tvirtino, kad linijos B'C' stūmimas niekada nekirs AD ir todėl taškas G nebus nustatytas. G taškas gali būti nustatomas tik kaip riba. Ir neabejotinai Papusas yra teisus.

©2009. Visos teisės saugomos. Jokia teksto dalis negali būti panaudota be leidimo ir šaltinio nurodymo.

Iniciatyva: Matematikos keliu

Kitos biografijos:
Eudoksas iš Knido
Hiparchas iš Rodo
Graikų astronomai
Kvadratinė lygtis
Kampo trisekcija
Euklidas iš Aleksandrijos
Tacitas ir Gajus Suetonijus
Ankstyvasis misticizmas: Filonas Aleksandrietis
Kodėl šiandien verta skaityti Boecijų?
Simonas Samarietis - pirmasis gnostikas
Matematikai: Davidas Hilbertas
Peteris Karvašas. Archimedas
Gotfydas Vilhelmas Leibnicas


Kitos nuorodos:
Pitagoro teorema
Monistinės kosmologijos
Kur mirė Sokratas?
Pliuristinės kosmologijos
Teofrastas. Apie akmenis
Archimedas ir jo laikmetis
Arianas. Stoicizmo pagrindai
Hipatija – pirmoji matematikė
Didžiausias bendras daliklis
Matematika Egipte ir Finikijoje
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Puankarė problemos įrodymas
Trumpa graikų filosofijos istorija
Herodoto "Istorijos" fragmentai
Pirmasis Einšteino įrodymas
Antikos filosofijos labirintai
Platonas ir Aristotelis
Filosofijos skyrius
Mitologijos skiltis
Vartiklis